Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Радиус вписанной окружности треугольника

Определение и формула радиуса вписанной окружности в треугольник

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Окружность, касающаяся всех трех сторон треугольника, называется его вписанной окружностью.
Радиус вписанной окружности треугольника

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.

Радиус вписанной окружности в треугольник равен отношению площади треугольника к его полупериметру:

    \[  r=\frac{S}{p} \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Площадь треугольника ABC равна 32 см ^{2}. Найдите периметр треугольника ABC, если радиус вписанной окружности равен 4 см.
Решение Так как радиус вписанной окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру, то периметр треугольника находится следующим образом:

    \[P=\frac{2S}{r} =\frac{64}{4} =16\ cm\]

Ответ P=16 см
ПРИМЕР 2
Задание В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B катеты равны 8 см и 6 см. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Решение Радиус вписанной окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру r=\frac{S}{p}. Найдем площадь прямоугольного треугольника ABC как площадь прямоугольного треугольника:

    \[S_{ABC} =\frac{1}{2} AB\cdot BC=\frac{1}{2} \cdot 8\cdot 6=24\ cm^2 \]

Гипотенузу AC найдем по теореме Пифагора:

    \[AC=\sqrt{AB^2 +BC^2 } =\sqrt{6^2 +8^2 } =10\ cm\]

Полупериметр треугольника ABC равен:

    \[p=\frac{AB+BC+AC}{2} =\frac{6+8+10}{2} =12\ cm\]

Тогда искомый радиус

    \[r=\frac{S}{p} =\frac{24}{12} =2\ cm\]

Ответ r=2 см