Биссектриса треугольника
Определение и формулы биссектрисы треугольника
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Биссектриса угла треугольника – это луч, который исходит из вершины треугольника и делит данный угол пополам.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, называемой инцентром треугольника.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.
Свойства биссектрисы треугольника
Для биссектрисы треугольника справедливы следующие свойства:
- Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам (рис. 1):
- Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в этот треугольник.
- Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.
- Биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника перпендикулярны.
- В правильном треугольнике биссектриса является медианой и высотой.
![\[\frac{CL}{LB} =\frac{AC}{AB} \]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-92e5a53a15799dc2ebfb29ee4c2b4707_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
| Задание | В треугольнике  провели биссектрисы  и  , которые пересекаются в точке  . Найти угол  , если  .
|
| Решение | Так как сумма углов в треугольнике равна  , то
Рассмотрим треугольник Следовательно, |
| Ответ | 
|
![\[\angle A+\angle C=180^{\circ} -\angle B=140^{\circ} \]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8278c8b75fd41e3730760779d0177814_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
и 
, то ![\[\angle OAC+\angle OCA=\frac{140^{\circ} }{2} =70^{\circ} \]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2f79e354980ab9479b130e8b70ea939e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
.
ПРИМЕР 2
| Задание | В треугольнике биссектриса  делит сторону  на отрезки  см и  см. Найти сторону  , если известно, что сторона  см.
|
| Решение | Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам:
Если в последнее равенство подставить данные из условия задачи, то получим откуда |
| Ответ |  см
|
![\[\frac{LC}{BL} =\frac{AC}{AB} \]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ca2479d1819865bfd3f0f4e54d9ca2cb_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\frac{5}{4} =\frac{7}{AB} ,\ \]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0a4553654a518ba94aa2490b47445c4d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[AB=\frac{4\cdot 7}{5} =5,6\ cm\]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-03d53f192601c17348b6347daf9578d3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
