Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Прямоугольный треугольник

Определение и формулы прямоугольного треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой.

Стороны, прилежащие к прямому углу называются катетами, а сторона, лежащая против прямого угла, – гипотенузой.

Для прямоугольного треугольника справедливы следующие утверждения:

Прямоугольный треугольник
  • Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
  •     \[AC^{2} +AB^{2} =BC^{2} \]

  • Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90^{\circ}:
  •     \[\angle B+\angle C=90^{\circ} \]

  • Гипотенуза прямоугольного треугольника больше каждого их катетов:
  •     \[AC>BC, AB>BC\]

  • Катет, лежащий против угла 30^{\circ}, равен половине гипотенузы.
  • Две высоты прямоугольного треугольника совпадают с его катетами.
  • Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы.
  • Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, является радиусом описанной около этого треугольника окружности:
  •     \[AM=R\]

Признаки равенства прямоугольных треугольников

  • По двум катетам: если два катета одного прямоугольного треугольника равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
  • По гипотенузе и катету: если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
  • По стороне и острому углу: Если сторона и прилежащий к ней острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны стороне и прилежащему к ней острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны

Подробнее про признаки равенства треугольников читайте по ссылке.

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике


Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов и вычисляется по формуле

    \[S=\frac{1}{2} ab\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание В прямоугольном треугольнике ABC катет AC равен 5 см, а \angle C=60^{\circ}. Найти гипотенузу BC.
Решение В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90^{\circ}, значит

    \[\angle B=90^{\circ} -\angle C=30^{\circ} \]

Также известно, что катет AC (рис. 1), лежащий против угла \angle B=30^{\circ} равен половине гипотенузы, т.е.

BC=2AC=2\cdot 5=10 см

Ответ BC=10 см.
ПРИМЕР 2
Задание В равнобедренном треугольнике ABC угол A – прямой, BC=4 см. Найти площадь \Delta ABC.
Решение Запишем для прямоугольного треугольника ABC теорему Пифагора:

    \[BC^{2} =AC^{2} +AB^{2} \]

Так как этот треугольник равнобедренный, то AB=AC. Тогда

    \[BC^{2} =4^{2} =2AC^{2} \Rightarrow 2AC^{2} =16, \]

откуда AC=\sqrt{8}.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, т.е.

    \[S=\frac{1}{2} AB\cdot AC=\frac{1}{2} AC^{2} =4\ cm^{2} \]

Ответ S=4 см ^{2}.