Прямоугольный треугольник
Определение и формулы прямоугольного треугольника
Стороны, прилежащие к прямому углу называются катетами, а сторона, лежащая против прямого угла, – гипотенузой.
Для прямоугольного треугольника справедливы следующие утверждения:
- Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
- Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна :
- Гипотенуза прямоугольного треугольника больше каждого их катетов:
- Катет, лежащий против угла , равен половине гипотенузы.
- Две высоты прямоугольного треугольника совпадают с его катетами.
- Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы.
- Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, является радиусом описанной около этого треугольника окружности:
Признаки равенства прямоугольных треугольников
- По двум катетам: если два катета одного прямоугольного треугольника равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
- По гипотенузе и катету: если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
- По стороне и острому углу: Если сторона и прилежащий к ней острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны стороне и прилежащему к ней острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны
Подробнее про признаки равенства треугольников читайте по ссылке.
Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов и вычисляется по формуле
Примеры решения задач
Задание | В прямоугольном треугольнике катет равен см, а . Найти гипотенузу . |
Решение | В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна , значит
Также известно, что катет (рис. 1), лежащий против угла равен половине гипотенузы, т.е. см |
Ответ | см. |
Задание | В равнобедренном треугольнике угол – прямой, см. Найти площадь . |
Решение | Запишем для прямоугольного треугольника теорему Пифагора:
Так как этот треугольник равнобедренный, то . Тогда
откуда . Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, т.е.
|
Ответ | см. |