Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Равносторонний (правильный) треугольник

Определение и формулы равностороннего треугольника


Равносторонний (правильный) треугольник
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.

Для равносторонние треугольника справедливы следующие утверждения:

  • В правильном треугольнике все углы равны между собой и равны 60^{\circ}:
  •     \[\angle A=\angle B=\angle C=60^{\circ} \]

  • В правильном треугольнике высоты, биссектрисы, медианы и серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке, которая называется центром равностороннего треугольника .
  • Центр равностороннего треугольника является центром вписанной и описанной окружностей.
  • В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной.
  • В правильном треугольнике со стороной a радиус описанной окружности равен R=\frac{a\sqrt{3} }{3}, а радиус вписанной окружности – r=\frac{a\sqrt{3} }{6}.
  • В правильном треугольнике со стороной a высоты совпадают с медианами и биссектрисами и равны
  •     \[h=\frac{a\sqrt{3} }{2} \]

  • Площадь равностороннего треугольника со стороной a равна
  •     \[S=\frac{a^{2} \sqrt{3} }{4} \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание В правильном треугольнике ABC провели медиану BK=3 см (рис.1). Найти сторону треугольника.
Решение Так как треугольник ABC равносторонний, то его медиана

    \[BK=\frac{AC\sqrt{3} }{2} =3\]

Из последнего равенства получаем, что

    \[AC=\frac{2\cdot 3}{\sqrt{3} } =2\sqrt{3} \ cm\]

Ответ AC=2\sqrt{3} см.
ПРИМЕР 2
Задание В правильном треугольнике ABC радиус описанной окружности равен 6 см. Найти высоту треугольника.
Решение Зная радиус AO=6 см описанной окружности в равносторонний треугольник, можно найти сторону этого треугольника: AC=AO\sqrt{3} =6\sqrt{3} см.

А сторона треугольника связана с высотой следующим соотношением:

    \[AM=\frac{AC\sqrt{3} }{2} =\frac{6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} }{2} =9\ cm\]

Ответ AM=9 см.