Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Высота треугольника

Определение и формулы высоты треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Высотой треугольника, проведённой из данной вершины, называется перпендикуляр, опущенный из этой вершины на противоположную сторону или её продолжение.
Высота треугольника

Свойства высоты треугольника

  • Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.
  • В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, является медианой и биссектрисой.
  • В правильном треугольнике все высоты являются медианами и биссектрисами.
  • В остроугольном треугольнике высоты пресекаются внутри треугольника; в тупоугольном – вне треугольника; в прямоугольном – в вершине прямого угла.
  • В прямоугольном треугольнике катеты служат высотами.
  • В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.
  • В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.
  • Формула для вычисления высоты

        \[h_{a} =\frac{2S}{a} ,\ \]

    где h_{a} – высота, опущенная на сторону а, Sплощадь треугольника.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание В треугольнике ABC высота, опущенная из вершины B, делит сторону AC на отрезки 3 см и 4 см. Найти высоту BK, если известно, что \angle A=30^{\circ}.
Решение Сделаем рисунок.
В треугольнике ABC (рис. 1) из вершины B опустим высоту BK, которая поделит сторону AC на части AK=3 см и KC=4 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABKс прямым углом K и \angle A=30^{\circ}. Найдем BK:

    \[BK=AK\cdot \text{tg}\angle A=3\cdot \frac{\sqrt{3} }{3} =\sqrt{3} \ cm\]

Ответ BK=4\sqrt{2} см.
ПРИМЕР 2
Задание В прямоугольном треугольнике ABC катеты равны 6 см и 8 см. Найти высоту BK, опущенную на гипотенузу AC.
Решение Пусть катет AB=6 см, а BC=8 см (рис. 2). Тогда по теореме Пифагора

AC=\sqrt{AB^{2} +BC^{2} } =\sqrt{36+64} =10 см

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, т.е.

    \[S=\frac{1}{2} AB\cdot BC=24\ cm^{2} \]

Высоту BK найдем по формуле

    \[BK=\frac{2S}{AC} =\frac{2\cdot 12}{10} =2,4\ cm\]

Ответ BK=2,4 см.