Высота треугольника

Определение и формулы высоты треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Высотой треугольника, проведённой из данной вершины, называется перпендикуляр, опущенный из этой вершины на противоположную сторону или её продолжение.

Свойства высоты треугольника

Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.
В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, является медианой и биссектрисой.
В правильном треугольнике все высоты являются медианами и биссектрисами.
В остроугольном треугольнике высоты пресекаются внутри треугольника; в тупоугольном – вне треугольника; в прямоугольном – в вершине прямого угла.
В прямоугольном треугольнике катеты служат высотами.
В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.
В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.
Формула для вычисления высоты
$h_{a} =\frac{2S}{a} ,\$

где $h_{a}$ – высота, опущенная на сторону а, $S$ – площадь треугольника.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	В треугольнике $ABC$ высота, опущенная из вершины $B$ , делит сторону $AC$ на отрезки $3$ см и $4$ см. Найти высоту $BK$ , если известно, что $\angle A=30^{\circ}$ .
Решение	Сделаем рисунок. В треугольнике $ABC$ (рис. 1) из вершины $B$ опустим высоту $BK$ , которая поделит сторону $AC$ на части $AK=3$ см и $KC=4$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABK$ с прямым углом $K$ и $\angle A=30^{\circ}$ . Найдем $BK$ : $BK=AK\cdot \text{tg}\angle A=3\cdot \frac{\sqrt{3} }{3} =\sqrt{3} \ cm$
Ответ	$BK=4\sqrt{2}$ см.