Теорема Пифагора
Геометрическая формулировка теоремы Пифагора
В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах (рис. 1).
Доказательство теоремы Пифагора
Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле
С другой стороны для вычисления площади произвольного треугольника справедлива формула: . В этой формуле – полупериметр , а – радиус вписанной окружности и для прямоугольника он равен . Далее приравнивая правые части обеих формул для площади треугольника, получим
Что и требовалось доказать.
Примеры решения задач
Задание | Катеты прямоугольного треугольника равны 12 см и 5 см. Найти гипотенузу. |
Решение | Обозначим катеты см и см, а гипотенузу – . По теореме Пифагора гипотенуза будет равна
Подставляя длины катетов, получим (см) |
Ответ | Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см |
Задание | Диагональ прямоугольника равна 5 см, а одна из его сторон – 3 см. Найти вторую сторону прямоугольника. |
Решение | Сделаем рисунок (рис. 2).
Обозначим см, см. Рассмотрим прямоугольный треугольник . Запишем для него теорему Пифагора:
Выразим из последнего равенства неизвестную сторону :
Подставляя известные значения сторон, получим
(см) |
Ответ | Вторая сторона прямоугольника равна 4 см |