Теорема косинусов

ТЕОРЕМА

Для произвольного треугольника $ABC$ квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

То есть для треугольника $ABC$ , изображенного на рисунке 1, имеют место следующие соотношения:

$AB^{2} = BC^{2} + AC^{2} - 2 \cdot BC \cdot AC \cdot \cos \angle C$

$AC^{2} = BC^{2} + AB^{2} - 2 \cdot BC \cdot AB \cdot \cos \angle B$

$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle A$

Следствие из теоремы косинусов

Косинус любого угла треугольника $ABC$ , при условии, что известны все его стороны, можно найти из соотношений

$\cos \angle A = \frac{AB^{2} + AC^{2} - BC^{2}}{2 \cdot AB \cdot AC}$

$\cos \angle B = \frac{BC^{2} + AB^{2} - AC^{2}}{2 \cdot BC \cdot AB}$

$\cos \angle C = \frac{BC^{2} + AC^{2} - AB^{2}}{2 \cdot BC \cdot AC}$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

В треугольнике $ABC$ стороны $BC=4$ см и $AC=3$ см, угол между ними $\angle C = 60 ^\circ$ . Найти неизвестную сторону $AB$ .

Решение

Запишем для неизвестной стороны $AB$ теорему косинусов:

$AB^{2} = BC^{2} + AC^{2} - 2 \cdot BC \cdot AC \cdot \cos \angle C$

Подставляя известные значения сторон и угла, получим:

$AB^{2} = 4^{2} + 3^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos \angle 60 ^\circ$

$AB^{2} = 16+9-24 \cdot \frac{1}{2}$

$AB^{2} = 13 \text{ } \Rightarrow \text{ } AB = \sqrt{13}$ (см)

Ответ

$AB = \sqrt{13}$ см

ПРИМЕР 2

Задание

Стороны треугольника равны соответственно 3, 7 и 8 см. Найти угол, лежащий против стороны длинной 7 см.

Решение

Обозначим стороны треугольника: $AB=3, BC=7, AC=8$ ; а против стороны $BC$ лежит $\angle A$ . По следствию из теоремы косинусов, косинус $\angle A$ выражается через стороны треугольника следующим образом:

$\cos \angle A = \frac{AB^{2} + AC^{2} - BC^{2}}{2 \cdot AB \cdot AC}$

Подставим известные значения длин сторон, получим

$\cos \angle A = \frac{3^{2} + 8^{2} - 7^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 8}$

$\cos \angle A = \frac{9+64-49}{48}$

$\cos \angle A = \frac{1}{2} \text{ } \Rightarrow \text{ } \angle A = \arccos \left( \frac{1}{2} \right) \text{ } \Rightarrow \text{ } \angle A = 60 ^\circ$

Ответ

$\angle A = 60 ^\circ$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Теорема косинусов

Следствие из теоремы косинусов

Примеры решения задач