Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Теорема косинусов

ТЕОРЕМА
Для произвольного треугольника ABC квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

То есть для треугольника ABC, изображенного на рисунке 1, имеют место следующие соотношения:

    \[    AB^{2} = BC^{2} + AC^{2} - 2 \cdot BC \cdot AC \cdot \cos \angle C \]

    \[    AC^{2} = BC^{2} + AB^{2} - 2 \cdot BC \cdot AB \cdot \cos \angle B \]

    \[    BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle A \]

Следствие из теоремы косинусов

Косинус любого угла треугольника ABC, при условии, что известны все его стороны, можно найти из соотношений

    \[    \cos \angle A = \frac{AB^{2} + AC^{2} - BC^{2}}{2 \cdot AB \cdot AC} \]

    \[    \cos \angle B = \frac{BC^{2} + AB^{2} - AC^{2}}{2 \cdot BC \cdot AB} \]

    \[    \cos \angle C = \frac{BC^{2} + AC^{2} - AB^{2}}{2 \cdot BC \cdot AC} \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание В треугольнике ABC стороны BC=4 см и AC=3 см, угол между ними \angle C = 60 ^\circ. Найти неизвестную сторону AB.
Решение Запишем для неизвестной стороны AB теорему косинусов:

    \[    AB^{2} = BC^{2} + AC^{2} - 2 \cdot BC \cdot AC \cdot \cos \angle C \]

Подставляя известные значения сторон и угла, получим:

    \[    AB^{2} = 4^{2} + 3^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos \angle 60 ^\circ \]

    \[    AB^{2} = 16+9-24 \cdot \frac{1}{2} \]

AB^{2} = 13 \text{ } \Rightarrow \text{ } AB = \sqrt{13} (см)

Ответ AB = \sqrt{13} см
ПРИМЕР 2
Задание Стороны треугольника равны соответственно 3, 7 и 8 см. Найти угол, лежащий против стороны длинной 7 см.
Решение Обозначим стороны треугольника: AB=3, BC=7, AC=8; а против стороны BC лежит \angle A. По следствию из теоремы косинусов, косинус \angle A выражается через стороны треугольника следующим образом:

    \[    \cos \angle A = \frac{AB^{2} + AC^{2} - BC^{2}}{2 \cdot AB \cdot AC} \]

Подставим известные значения длин сторон, получим

    \[    \cos \angle A = \frac{3^{2} + 8^{2} - 7^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 8} \]

    \[    \cos \angle A = \frac{9+64-49}{48} \]

    \[    \cos \angle A = \frac{1}{2} \text{ } \Rightarrow \text{ } \angle A = \arccos \left( \frac{1}{2} \right) \text{ } \Rightarrow \text{ } \angle A = 60 ^\circ \]

Ответ \angle A = 60 ^\circ