Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Теорема синусов

ТЕОРЕМА
В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противоположных углов (рис. 1):

    \[    \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} \]

Доказательство теоремы

Рассмотрим произвольный треугольник ABC (рис. 1). Запишем для него формулу площади через две стороны и угол между ними:

   или   

Приравнивая правые части этих формул, получим

    \[    \frac{1}{2} ab \sin \gamma = \frac{1}{2}ac \sin \beta \]

сократим левую и правую часть этого равенства на \frac{1}{2}a,

    \[    b \sin \gamma = c \sin \beta \text{ } \Rightarrow \text{ } \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} \]

Аналогично, из формулы

    \[    S = \frac{1}{2} bc \sin \alpha \]

выводится равенство

    \[    \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} \]

Приравнивая (1) и (2), получим

    \[    \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} \]

Теорема доказана.

Расширенная теорема синусов

ТЕОРЕМА
В произвольном треугольнике отношение стороны треугольника к синусу противоположного угла равно диаметру описанной около него окружности (рис. 1):

    \[    \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2 R \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Одна из сторон треугольника равна 6 см, противолежащий угол равен 60 ^\circ, а один из прилежащих 45 ^\circ. Найти длину стороны, лежащей против угла в 45 ^\circ.
Решение Воспользуемся рисунком 1 и введем следующие обозначения. Сторона a=6 см, \angle \alpha = 60 ^\circ, \angle \beta = 45 ^\circ, b – неизвестная сторона. Запишем для этих сторон и углов теорему синусов:

    \[    \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} \]

Выразим из последнего равенства неизвестную сторону b:

    \[    b = \frac{6 \cdot \sin \beta}{\sin \alpha} \]

Подставляя заданные значения сторон и углов, получим:

    \[    b = \frac{a \cdot \sin 45 ^\circ}{\sin 60 ^\circ} \]

b=2 \sqrt{6} (см)

Ответ b=2 \sqrt{6} см
ПРИМЕР 2
Задание В треугольнике \Delta KMN: \angle K = 80^\circ, \angle N = 40^\circ, KN=6 см. Найти радиус окружности, описанной около треугольника.
Решение Из теоремы о сумме углов треугольника, найдем неизвестный угол треугольника:

    \[    \angle M = 180^\circ -\angle K - \angle N \]

Подставляя значения известных углов, получим:

    \[    \angle M = 180^\circ - 80^\circ - 40^\circ \]

    \[    \angle M = 60^\circ \]

Далее по расширенной теореме синусов

    \[    \frac{KN}{\sin \angle M} = 2R \]

Выразим из последнего равенства радиус описанной окружности

    \[    R = \frac{KN}{2 \sin \angle M} \]

Подставляя значения стороны и угла, получим

    \[    R = \frac{6}{2 \sin \angle 60^\circ} \]

    \[    R = \frac{6}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} \]

R=2 \sqrt{3} (см)

Ответ R=2 \sqrt{3} см