Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Теорема о трех перпендикулярах

ТЕОРЕМА
Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

На рисунке 1, по теореме Фалеса, если прямые A_{1}B_{1} \parallel A_{2}B_{2} \parallel A_{3}B_{3}, а отрезки A_{1}A_{2} = A_{2}A_{3}, то B_{1}B_{2} = B_{2}B_{3}.

Обобщение теоремы Фалеса (Теорема о пропорциональных отрезках)

ТЕОРЕМА
Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

На рисунке 2, согласно обобщенной теореме Фалеса, если A_{1}B_{1} \parallel A_{2}B_{2} \parallel A_{3}B_{3}, то

    \[    \frac{B_{1}B_{2}}{A_{1}A_{2}} = \frac{B_{2}B_{3}}{A_{2}A_{3}} \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание На рисунке 3, AB=BC=CD=5 см, BK \parallel CM \parallel DN, AK=7 см. Найти длину отрезка MN.
Решение По теореме Фалеса, так как BK \parallel CM \parallel DN и AB=BC=CD, следует, что AK=CM=MN. Тогда MN=AK=7 (см).
Ответ MN=7 см
ПРИМЕР 2
Задание В треугольнике KLM, сторона LM=8 см. Прямая AB пересекает стороны KL и LM параллельно KM, и отсекает на стороне LM отрезок BM=4 см. Доказать, что KA=AL.
Решение Сделаем рисунок (рис. 4).

Так как LM=8 см и BM=4 см, то

LB=LM-BM \text{ } \Rightarrow \text{ } LB=8-4=4(см)

По теореме Фалеса, так как KM \parallel AB и BM = LB, то, следовательно, KA=AL.

Что и требовалось доказать.