Теорема о трех перпендикулярах

ТЕОРЕМА

Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

На рисунке 1, по теореме Фалеса, если прямые $A_{1}B_{1} \parallel A_{2}B_{2} \parallel A_{3}B_{3}$ , а отрезки $A_{1}A_{2} = A_{2}A_{3}$ , то $B_{1}B_{2} = B_{2}B_{3}$ .

Обобщение теоремы Фалеса (Теорема о пропорциональных отрезках)

ТЕОРЕМА

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

На рисунке 2, согласно обобщенной теореме Фалеса, если $A_{1}B_{1} \parallel A_{2}B_{2} \parallel A_{3}B_{3}$ , то

$\frac{B_{1}B_{2}}{A_{1}A_{2}} = \frac{B_{2}B_{3}}{A_{2}A_{3}}$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	На рисунке 3, $AB=BC=CD=5$ см, $BK \parallel CM \parallel DN$ , $AK=7$ см. Найти длину отрезка $MN$ .
Решение	По теореме Фалеса, так как $BK \parallel CM \parallel DN$ и $AB=BC=CD$ , следует, что $AK=CM=MN$ . Тогда $MN=AK=7$ (см).
Ответ	$MN=7$ см

ПРИМЕР 2

Задание

В треугольнике $KLM$ , сторона $LM=8$ см. Прямая $AB$ пересекает стороны $KL$ и $LM$ параллельно $KM$ , и отсекает на стороне $LM$ отрезок $BM=4$ см. Доказать, что $KA=AL$ .