Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Теорема Герона

ТЕОРЕМА
Площадь треугольника (рис. 1), длины сторон которого соответственно равны a, b и c, а полупериметр p=\frac{a+b+c}{2}, можно вычислить по формуле

    \[    S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]

Эту теорему также называют формулой Герона.

Доказательство теоремы Герона

Будем считать известной и доказанной формулу для нахождения площади треугольника:

    \[    S = \frac{1}{2}ab \cdot \sin \gamma \]

где \gamma – угол треугольник ABC лежащий против стороны c (Рис. 1). По теореме косинусов:

    \[    c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab \cdot \cos \gamma \]

Выразим из последнего равенства \cos \gamma, получим

    \[    \cos \gamma = \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab} \]

По основному тригонометрическому тождеству \sin^{2} \gamma + \cos^{2} \gamma = 1, тогда

    \[    \sin^{2} \gamma = 1 - \cos^{2} \gamma \]

Правая часть последнего равенства является разностью квадратов, поэтому по формулам сокращенного умножения может быть представлена в виде

    \[    \sin^{2} \gamma = 1 - \cos^{2} \gamma = (1 - \cos \gamma) (1 + \cos \gamma) \]

Подставим в последнее равенство выражения для косинуса

    \[    \sin^{2} \gamma = (1 - \cos \gamma) (1 + \cos \gamma) = \left( 1 - \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab} \right) \left( 1 + \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab} \right) \]

Приведем к общему знаменателю дроби в скобках и преобразуем их, группируя и используя формулы сокращенного умножения

    \[    \sin^{2} \gamma = \left( 1 - \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab} \right) \left( 1 + \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab} \right) = \left( \frac{2ab - a^{2} - b^{2}+c^{2}}{2ab} \right) \left( \frac{2ab + a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2ab} \right) =  \]

    \[    = \frac{c^{2}-(a^{2}-2ab+b^{2})}{2ab} \cdot \frac{(a^{2}+2ab+b^{2})-c^{2}}{2ab} = \frac{c^{2}-(a-b)^{2}}{2ab} \cdot \frac{(a+b)^{2}-c^{2}}{2ab} =  \]

    \[    = \frac{1}{4a^{2}b^{2}} (c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)  \]

Далее учитывая, что

    \[    a+b+c=2p \text{ };\text{ } a+b-c=2p-2c \text{ };\text{ } a+c-b=2p-2b \text{ };\text{ } c-a+b=2p-2a \]

получим

    \[    \sin^{2} \gamma = \frac{1}{4a^{2}b^{2}} (2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)2p = \frac{4}{a^{2}b^{2}} (p-a)(p-b)(p-c)p \]

Извлечем корень из левой и правой части последнего равенства

    \[    \sqrt{ \sin^{2} \gamma} = \sqrt{ \frac{4}{a^{2}b^{2}} (p-a)(p-b)(p-c)p} \]

    \[    \sin \gamma = \frac{2}{ab} \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)p} \]

Таким образом, подставляя найденное значение синуса в формулу площади, окончательно получим

    \[    S = \frac{1}{2}ab \frac{2}{ab} \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)p} \text{ } \Rightarrow \text{ } S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)p} \]

Теорема доказана.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти площадь треугольника, стороны которого равны 13дм, 14дм и 15дм.
Решение Обозначим a=13, b=14 и c=15. Вычислим полупериметр и площадь по описанным выше формулам

Полупериметр равен

(дм)

По формуле Герона

    \[    S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]

S=\sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84 (дм ^{2})

Ответ S = 84 дм ^{2}
ПРИМЕР 2
Задание В равнобедренном треугольнике ABC (рис. 2) боковые стороны равны 15 см. BH – высота, AH=9 см. Найти площадь треугольник ABC.
Решение По свойству высоты равнобедренного треугольника, опущенной на его основание, BH так же является и медианой. Следовательно, AH=HC=9 см. Тогда

AC=AH+HC \text{ } \Rightarrow \text{ }  AC=9+9=18 (см)

Для нахождения площади треугольника ABC, воспользуемся формулой Герона:

    \[    S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]

Последняя формула в данных обозначениях перепишется следующим образом

    \[    S_{ABC} = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)} \]

Найдем полупериметр p=\frac{AB+BC+AC}{2}, по условию AB=BC=15 см, тогда

    \[    p=\frac{15+15+18}{2}=24 \]

Подставляя найденные значения в формулу для нахождения площади, получим:

    \[    S_{ABC} = \sqrt{24 \cdot (25-15)(24-15)(24-18)} \]

S_{ABC} = \sqrt{24 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 6} = 108 (см ^{2})

Ответ S_{ABC} = 108 см ^{2}