Теорема Герона
Эту теорему также называют формулой Герона.
Доказательство теоремы Герона
Будем считать известной и доказанной формулу для нахождения площади треугольника:
где – угол треугольник лежащий против стороны (Рис. 1). По теореме косинусов:
Выразим из последнего равенства , получим
По основному тригонометрическому тождеству , тогда
Правая часть последнего равенства является разностью квадратов, поэтому по формулам сокращенного умножения может быть представлена в виде
Подставим в последнее равенство выражения для косинуса
Приведем к общему знаменателю дроби в скобках и преобразуем их, группируя и используя формулы сокращенного умножения
Далее учитывая, что
получим
Извлечем корень из левой и правой части последнего равенства
Таким образом, подставляя найденное значение синуса в формулу площади, окончательно получим
Теорема доказана.
Примеры решения задач
Задание | Найти площадь треугольника, стороны которого равны 13дм, 14дм и 15дм. |
Решение | Обозначим , и . Вычислим полупериметр и площадь по описанным выше формулам
Полупериметр равен (дм) По формуле Герона
(дм) |
Ответ | дм |
Задание | В равнобедренном треугольнике (рис. 2) боковые стороны равны 15 см. – высота, см. Найти площадь треугольник .
|
Решение | По свойству высоты равнобедренного треугольника, опущенной на его основание, так же является и медианой. Следовательно, см. Тогда
(см) Для нахождения площади треугольника , воспользуемся формулой Герона:
Последняя формула в данных обозначениях перепишется следующим образом
Найдем полупериметр , по условию см, тогда
Подставляя найденные значения в формулу для нахождения площади, получим:
(см) |
Ответ | см |