Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Высота в прямоугольном треугольнике

Определение и формулы высоты в прямоугольном треугольнике

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону.

В прямоугольном треугольнике высоты, опущенные из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника, а высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит треугольник на два треугольника, подобных исходному и подобных друг другу.

Высота в прямоугольном треугольнике

Длина высоты треугольника ABC (рис.1), проведенной к гипотенузе BC, находится по формуле

    \[AK^{2} =BK\cdot KC,\]

где BK и KC – проекции катетов на гипотенузу.

Площадь треугольника ABC можно найти по формуле

    \[S=\frac{1}{2} BC\cdot AK\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание В прямоугольном треугольнике ABC высота AK делит гипотенузу на отрезки BK=3 см и KC=2 см. Найти катеты треугольника.
Решение Найдем квадрат длины высоты AK пользуясь формулой

    \[AK^2 =BK\cdot KC=3\cdot 2=6\]

Рассмотрим прямоугольные треугольники AKC и BKC, и найдем в них стороны AC и AB:

AC=\sqrt{AK^2 +KC^2 } =\sqrt{6+4} =\sqrt{10} см

AB=\sqrt{AK^2 +KB^2 } =\sqrt{6+9} =\sqrt{15} см

Ответ AC=\sqrt{10} см,\ AB=\sqrt{15} см
ПРИМЕР 2
Задание В прямоугольном треугольнике ABC катеты равны 6 см и 8 см. Найти высоту BK, опущенную на гипотенузу AC.
Решение Пусть катет AB=6 см, а BC=8 см (рис. 2). Тогда по теореме Пифагора гипотенуза

AC=\sqrt{AB^2 +BC^2 } =\sqrt{36+64} =10 см

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, т.е.

    \[S=\frac{1}{2} AB\cdot BC=24\ cm^2 \]

Высоту BK найдем по формуле

    \[BK=\frac{2S}{AC} =\frac{2\cdot 12}{10} =2,4\ cm\]

Ответ BK=2,4 см