Свойства высоты треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Высотой треугольника, проведённой из данной вершины, называется перпендикуляр, опущенный из этой вершины на противоположную сторону или её продолжение.

Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.

Свойства высоты треугольника

В остроугольном треугольнике высоты пересекаются внутри треугольника; в тупоугольном – вне треугольника; в прямоугольном – в вершине прямого угла.
В прямоугольном треугольнике катеты являются высотами.
В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.
В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.
В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, является медианой и биссектрисой.
В равностороннем треугольнике все высоты являются медианами и биссектрисами.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	В треугольнике $ABC$ со стороной $AB=8$ см и $\angle A={{45}^{\circ}}$ найти высоту, опущенную из вершины $B$ .
Решение	В треугольнике $ABC$ из вершины $B$ опустим высоту $BK$ . Рассмотрим полученный прямоугольный треугольник $ABK$ с прямым углом $B$ и углом $\angle A={{45}^{\circ}}$ (по условию). Найдем $BK$ : $BK=AB\sin \angle A=8\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2} \ cm$
Ответ	$BK=4\sqrt{2}$ см