Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Свойства высоты треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Высотой треугольника, проведённой из данной вершины, называется перпендикуляр, опущенный из этой вершины на противоположную сторону или её продолжение.

Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.

Свойства высоты треугольника

  1. В остроугольном треугольнике высоты пересекаются внутри треугольника; в тупоугольном – вне треугольника; в прямоугольном – в вершине прямого угла.
  2. В прямоугольном треугольнике катеты являются высотами.
  3. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.
  4. В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.
  5. В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, является медианой и биссектрисой.
  6. В равностороннем треугольнике все высоты являются медианами и биссектрисами.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание В треугольнике ABC со стороной AB=8 см и \angle A={{45}^{\circ}} найти высоту, опущенную из вершины B.
Решение В треугольнике ABC из вершины B опустим высоту BK. Рассмотрим полученный прямоугольный треугольник ABK с прямым углом B и углом \angle A={{45}^{\circ}} (по условию). Найдем BK:

    \[BK=AB\sin \angle A=8\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2} \ cm\]

Ответ BK=4\sqrt{2} см
ПРИМЕР 2
Задание В прямоугольном треугольнике ABC высота BK делит гипотенузу на отрезки AK=4 см и K=9 см. Найти площадь треугольника ABC.
Решение Треугольники AKB, \quad CKB – подобные. Значит

    \[\frac{AK}{BK}=\frac{BK}{KC}\text{  }\Rightarrow \text{  }B{{K}^{2}}=AK\cdot KC=4\cdot 9=36\ cm\]

откуда

    \[BK=6\ cm\]

Из прямоугольных треугольников AKB и CKB найдем AB, BC (используем теорему Пифагора):

    \[AB=\sqrt{A{{K}^{2}}+B{{K}^{2}}}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\ cm, \quad BC=\sqrt{C{{K}^{2}}+B{{K}^{2}}}=\sqrt{117}\ cm\]

Далее найдем площадь треугольника ABC:

    \[{{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{2\sqrt{13}\sqrt{117}}{2}=\sqrt{1521}\ cm\]

Ответ {{S}_{ABC}}=\sqrt{1521} см