Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Соотношение между сторонами и углами треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Треугольник – геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые попарно пересекаются в трех точках, называемых вершинами треугольника.

Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла.

В треугольнике большая сторона лежит против большего угла.

Стороны и углы треугольника связаны следующими соотношениями.

Соотношение между сторонами и углами треугольника

ТЕОРЕМА
Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними

    \[a^2 =b^2 +c^2 -2\cdot b\cdot c\cdot \cos \alpha \]

ТЕОРЕМА
Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

    \[\frac{a}{\sin \alpha } =\frac{b}{\sin \beta } =\frac{c}{\sin \gamma } \]

Теорема синусов
ТЕОРЕМА
Расширенная теорема синусов. Коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной окружности

    \[\frac{a}{\sin \alpha } =\frac{b}{\sin \beta } =\frac{c}{\sin \gamma } =2R\]

Расширенная теорема синусов

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике

    \[\cos \alpha =\frac{AC}{AB} =\frac{b}{c} \]

    \[\sin \alpha =\frac{BC}{AB} =\frac{a}{c} \]

    \[\text{tg}\alpha =\frac{BC}{AC} =\frac{a}{b} \]

    \[\text{ctg}\alpha =\frac{AC}{BC} =\frac{b}{a} \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание В треугольнике ABC известны AB=3 см,\ \angle B=120^{\circ} и \angle C=30^{\circ}. Найти все стороны и все углы треугольника ABC.
Решение Поскольку сумма углов любого треугольника равна 180^{\circ}, то

    \[\angle A=180^{\circ} -120^{\circ} -30^{\circ} =30^{\circ} \]

Получили, что два угла в треугольнике равны между собой, значит треугольник ABC – равнобедренный и значит BC=AB=3 см.

Воспользуемся теоремой синусов и найдем сторону AC:

    \[    \frac{AB}{\sin C} =\frac{AC}{\sin B} \]

или

    \[    \frac{3}{\sin 30^{\circ} } =\frac{AC}{\sin 120^{\circ} } \]

откуда AC=3\sqrt{3} см.

Ответ \angle A=30^{\circ} ,\ BC=3 см,\ AC=3\sqrt{3} см
ПРИМЕР 2
Задание В прямоугольном треугольнике ABC с катетами AB=5 см и AC=4 см найти тангенсы углов B и C
Решение Так как тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то можем записать

    \[\text{tg}\angle B=\frac{AC}{AB} =\frac{4}{5} ,\]

    \[\text{tg}\angle C=\frac{AB}{AC} =\frac{5}{4} \]

Ответ \text{tg}\angle B=\frac{4}{5} ,\ \text{tg}\angle C=\frac{5}{4}.