Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Углы в прямоугольном треугольнике

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Если один из углов треугольника прямой (то есть равен {90}^\circ), то треугольник называется прямоугольным.
Углы в прямоугольном треугольнике

Стороны, прилежащие к прямому углу называются катетами, а сторона, лежащая против прямого угла – гипотенузой.

Свойства углов в прямоугольном треугольнике

  • Сумма острых углов треугольника равна 90^{\circ}:
  •     \[\angle B+\angle C=90^{\circ} \]

  • Катет, лежащий против угла 30^{\circ}, равен половине гипотенузы

В прямоугольном треугольнике ABC с \angle C=90^{\circ} ,\ \angle A=\alpha, гипотенузой AB=c и катетами AC=b и BC=a углы определяются с помощью тригонометрических функций:

    \[\sin \alpha =\frac{BC}{AB} =\frac{a}{c},\ \cos \alpha =\frac{AC}{AB} =\frac{b}{c} ,\ \text{tg}\alpha =\frac{BC}{AC} =\frac{a}{b} ,\ \text{ctg}\alpha =\frac{AC}{BC} =\frac{b}{a} \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание В прямоугольном треугольнике ABC с \angle A=90^{\circ}, гипотенузой BC=2\sqrt{3} см и катетом AC=3 см найти \angle B и \angle C.
Решение Поскольку в прямоугольном треугольнике ABC известны длины гипотенузы и катета, то можно найти

    \[\sin \angle B=\frac{AC}{BC} =\frac{3}{2\sqrt{3} } =\frac{\sqrt{3} }{2} \]

Отсюда следует, что \angle B=60^{\circ}. Тогда второй острый угол треугольника

    \[\angle C=90^{\circ} -\angle B=90^{\circ} -60^{\circ} =30^{\circ} \]

Ответ \angle B=60^{\circ} ,\ \angle C=30^{\circ}.
ПРИМЕР 2
Задание В прямоугольном треугольнике ABC\ \angle A=45^{\circ} ,\ \angle B=90^{\circ} ,\ AB=5 см. Найти AC.
Решение Поскольку треугольник ABC – прямоугольный, то

    \[\angle C=90^{\circ} -\angle A=90^{\circ} -45^{\circ} =45^{\circ} \]

Так углы A и С равны, то \Delta ABCравнобедренный с боковыми сторонами AB=BC=5 см. Тогда гипотенузу AC можно найти с помощью теоремы Пифагора:

AC=\sqrt{AB^2 +BC^2 } =\sqrt{50} =5\sqrt{2} см

Ответ AC=5\sqrt{2} см