Медиана в прямоугольном треугольнике
Определение и формулы медианы в прямоугольном треугольнике
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий один из углов треугольника с серединой противолежащей ему стороны.
Свойства медианы прямоугольного треугольника
- Медианы прямоугольного треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении
- Медиана, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы:
- Медиана, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, равна радиусу окружности, описанной вокруг данного прямоугольного треугольника:
- Медиана, опущенная на гипотенузу, равна половине корня квадратного из суммы квадратов катетов:
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
Задание | В прямоугольном треугольнике (рис. 1) катет на см больше катета . Найти катеты, если медиана, опущенная на гипотенузу, равна см. |
Решение | Поскольку в прямоугольном треугольнике медиана, опущенная на гипотенузу равна половине гипотенузы, то
см Пусть катет см, тогда см. По теореме Пифагора
Решая данное квадратное уравнение, получим, что см, т.е. см, а см. |
Ответ | см см |
ПРИМЕР 2
Задание | В прямоугольном треугольнике угол между медианой см и гипотенузой равен . Найти катет .
|
Решение | В треугольнике проведем медиану (рис. 2). По условию . Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, т.е. , а значит, – равнобедренный треугольник. Тогда
т.е. – равносторонний и см. Найдем катет :
|
Ответ | см |