Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Медиана в прямоугольном треугольнике

Определение и формулы медианы в прямоугольном треугольнике

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий один из углов треугольника с серединой противолежащей ему стороны.
Медиана в прямоугольном треугольнике

Свойства медианы прямоугольного треугольника

  • Медианы прямоугольного треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1
  • Медиана, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы:

        \[AO=\frac{1}{2} BC\]

  • Медиана, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, равна радиусу окружности, описанной вокруг данного прямоугольного треугольника:

        \[AO=R\]

  • Медиана, опущенная на гипотенузу, равна половине корня квадратного из суммы квадратов катетов:

        \[AO=\frac{1}{2} \sqrt{AB^2 +AC^2 } \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание В прямоугольном треугольнике ABC (рис. 1) катет AB на 2 см больше катета AC. Найти катеты, если медиана, опущенная на гипотенузу, равна 5 см.
Решение Поскольку в прямоугольном треугольнике медиана, опущенная на гипотенузу равна половине гипотенузы, то

BC=2AO=10 см

Пусть катет AC=x см, тогда AB=(x+2) см. По теореме Пифагора

    \[x^2 +(x+2)^2 =100,\]

    \[x^2 +2x-48=0\]

Решая данное квадратное уравнение, получим, что x=6 см, т.е. AC=6 см, а AB=8 см.

Ответ AC=6 см,\ AB=8 см
ПРИМЕР 2
Задание В прямоугольном треугольнике ABC\ (\angle A=90^{\circ} ) угол между медианой AM=4 см и гипотенузой BC равен 60^{\circ}. Найти катет AB.
Решение В треугольнике ABC проведем медиану AM (рис. 2). По условию \angle AMC=60^{\circ}. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, т.е. AM=MC, а значит, \Delta AMCравнобедренный треугольник. Тогда

    \[\angle MAC=\angle MCA=\frac{180^{\circ} -60^{\circ} }{2} =60^{\circ} ,\]

т.е. \Delta AMCравносторонний и AC=4 см. Найдем катет AB:

    \[AB=BC\cdot \sin \angle C=8\cdot \frac{\sqrt{3} }{2} =4\sqrt{3} \ cm\]

Ответ AB=4\sqrt{3} см