Катет прямоугольного треугольника

Определение и формула катета прямоугольного треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Катетом прямоугольно треугольника называется сторона, прилежащая к прямому углу данного треугольника.

Сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой.

На рисунке 1 изображен прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $AB$ и $AC$ .

Для катетов прямоугольного треугольника можно сформулировать следующие утверждения:

$\ AC<BC,\ AB<BC$

Катет, лежащий против угла $30^{\circ}$ , равен половине гипотенузы.
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (теорема Пифагора):

$AC^2 +AB^2 =BC^2$

ПРИМЕР 1

Задание

В прямоугольном треугольнике $ABC$ гипотенуза $BC=10$ см, а катет $AB$ на $2$ см больше катета $AC$ . Найти неизвестные стороны треугольника.

Решение

Пусть длина катета $AC$ равна $x$ см, тогда длина катета $AB$ равна $(x+2)$ см. Воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения неизвестных сторон:

$AC^2 +AB^2 =BC^2 ,$

$x^2 +(x+2)^2 =10^2 ,$

$2x^2 +4x-96=0,$

откуда $x_1 =-8$ и $x_2 =6$ . По условию задачи подходит только второе значение. Получаем, что $AC=6$ см, а $AB=6+2=8$ см.

Ответ

$AC=6$ см $,\ AB=8$ см

ПРИМЕР 2

Задание	В треугольнике $ABC$ с $\angle A=90^{\circ} ,\ AB=4$ см и $BC=8$ см найти величину угла В.
Решение	Треугольник $ABC$ – прямоугольный, поскольку $\angle A=90^{\circ}$ . Сторона $AB$ – катет, сторона $BC$ – гипотенуза. Как видно из условия, катет $AB$ равен половине гипотенузы, а значит, он лежит против угла $30^{\circ}$ , т.е. $\angle C=30^{\circ}$ . Тогда по теореме о сумме углов треугольника имеем, что $\angle B=180^{\circ} -90^{\circ} -30^{\circ} =60^{\circ}$
Ответ	$\angle B=60^{\circ}$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!