Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Гипотенуза прямоугольного треугольника

Определение и формула гипотенузы прямоугольного треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Гипотенузой прямоугольного треугольника называется сторона, лежащая против прямого угла рассматриваемого треугольника.
Гипотенуза прямоугольного треугольника

Стороны, образующие прямой угол, называются катетами.

На рисунке 1 изображен прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой BC и катетами AB и AC.

Для гипотенузы прямоугольного треугольника можно сформулировать следующие утверждения:

  • Гипотенуза прямоугольного треугольника больше каждого их катетов: BC>AC,\ BC>AB.
  • Катет, лежащий против угла 30^{\circ}, равен половине гипотенузы.
  • Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы.
  • В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (теорема Пифагора):
  •     \[AC^2 +AB^2 =BC^2 \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание В прямоугольном равнобедренном треугольнике гипотенуза больше катета на 2 см. Найти гипотенузу.
Решение Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник ABC. Пусть катеты AB=AC=x, тогда BC=x+2. Пользуясь теоремой Пифагора составим уравнение

x^2 +x^2 =(x+2)^2 или x^2 -4x-4=0.

Корнями данного квадратного уравнения будут x_1 =2+2\sqrt{2} и x_2 =2-2\sqrt{2}. Второй корень не подходит по смыслу задачи (поскольку является отрицательным числом), поэтому

AB=AC=(2+2\sqrt{2} ) см,

а гипотенуза

BC=(4+2\sqrt{2} ) см

Ответ BC=(4+2\sqrt{2} ) см
ПРИМЕР 2
Задание Вокруг прямоугольного треугольника описана окружность радиуса r=5 см, а один из катетов треугольника равен 8 см. Найти площадь треугольника.
Решение Рассмотрим прямоугольник ABC с катетом AB=8 см, вокруг которого описана окружность. Поскольку радиус описанной окружности лежит на середине гипотенузы, то

OB=OC=5 см

Тогда гипотенуза BC=10 см. Пользуясь теоремой Пифагора, найдем катет AC:

AC=\sqrt{BC^2 -AB^2 } =\sqrt{100-64} =6 см

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, т.е.

    \[S=\frac{1}{2} \cdot AB\cdot AC=\frac{1}{2} \cdot 8\cdot 6=24\ cm^2 \]

Ответ S=24 см ^{2}