Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Подобные треугольники

Определение и формулы подобных треугольников

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Треугольники называются подобными, если у них равные углы и соответствующие стороны пропорциональны.
Подобные треугольники

Рис.1

Например, на рисунке 1 изображены треугольники ABC и A_1 B_1 C_1, у которых

    \[\angle A=\angle A_1 ,\ \angle B=\angle B_1 ,\ \angle C=\angle C_1,\ \frac{AB}{A_1 B_1 } =\frac{BC}{B_1 C_1 } =\frac{CA}{C_1 A_1 } =2\]

По определению, эти треугольники подобные. Пишут: \Delta ABC\sim \Delta A_1 B_1 C_1.

Число 2, которое равняется отношению соответствующих сторон, называют коэффициентом подобия.

Если \Delta ABC\sim \Delta A_1 B_1 C_1 и \Delta A_1 B_1 C_1 \sim \Delta A_2 B_2 C_2, то \Delta ABC\sim \Delta A_2 B_2 C_2.

ЛЕММА
Лемма (Про подобные треугольники). Прямая параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от данного треугольника ему подобный.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Подобны ли треугольники ABC и MNK, если \angle =40^{\circ} ,\ \angle B=82^{\circ} ,\ \angle M=40^{\circ}, \angle K=58^{\circ} ,\ AB=2,4 см , BC=2,1 см ,\ AC=3,9 см ,\ MN=3,2 см , NK=2,8 см , MK=5,2 см?
Решение В треугольнике ABC найдем угол

    \[\angle C=180^{\circ} -\angle A-\angle B=180^{\circ} -40^{\circ} -82^{\circ} =58^{\circ} ,\]

а в треугольнике MNK угол

    \[\angle N=180^{\circ} -\angle M-\angle K=180^{\circ} -40^{\circ} -58^{\circ} =82^{\circ} ,\]

т.е. углы этих треугольником равны. Найдем отношение соответствующих сторон данных треугольников

    \[\frac{AB}{MN} =\frac{BC}{NK} =\frac{AC}{MK} \]

или

    \[\frac{2,4}{3,2} =\frac{2,1}{2,8} =\frac{3,9}{5,2} =\frac{3}{4}\frac{3}{4} \]

Стороны треугольников пропорциональны, следовательно, треугольники ABC и MNK подобны с коэффициентом подобия \frac{3}{4}.

Ответ Треугольники ABC и MNK Подобны.
ПРИМЕР 2
Задание Известно, что \Delta ABC \sim \Delta A_1 B_1 C_1, причем \angle A=\angle A_1, \angle B=\angle B_1, AB=6 см , BC=7 см ,\ AC=10 см ,\ A_1 B_1 =9 см. Найти B_1 C_1 и A_1 C_1.
Решение Так как треугольники \Delta ABC и \Delta A_1 B_1 C_1 подобны, то их стороны пропорциональны, а значит можно записать следующие равенства

    \[\frac{AB}{A_1 B_1 } =\frac{BC}{B_1 C_1 } =\frac{AC}{A_1 C_1 } \]

или

    \[\frac{6}{9} =\frac{7}{B_1 C_1 } =\frac{10}{A_1 C_1 } ,\]

откуда B_1 C_1 =10,5 см ,\ A_1 C_1 =15 см.

Ответ B_1 C_1 =10,5 см ,\ A_1 C_1 =15 см