Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Центр окружности описанной около треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Окружность, проходящая через все три вершины треугольника, называется его описанной окружностью.
Центр окружности, описанной около треугольника

Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности находится на середине гипотенузы.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Доказать, что в треугольнике ABC точка пересечения серединных перпендикуляров является центром описанной окружности.
Доказательство Пусть серединные перпендикуляры к сторонам AB,\ BC и AC пересекаются в точке O. Соединим точку O с вершинами треугольника. Поскольку точка O лежит на серединных перпендикулярах, то справедливы равенства

    \[OA=OC,\ OC=OB,\ OB=OA\]

Поэтому окружность с центром O радиуса OA проходит через все три вершины треугольника а, значит, является описанной около треугольника ABC.

Что и требовалось доказать.

ПРИМЕР 2
Задание В прямоугольном треугольнике ABC с \angle A=30^{\circ} найти расстояние от центра описанной окружности до середин катетов, если радиус описанной окружности равен R=5 см.
Решение Рассмотрим треугольник ABC с прямым углом B. Отметим на серединах катетов AB и BC точки K и M соответственно. Поскольку центр описанной окружности прямоугольного треугольника находится на середине гипотенузы, то отрезки OK и OM являются средними линиями треугольника ABC. Так как R=5 см, то гипотенуза

AC=2R=10 см

Поскольку \angle A=30^{\circ}, то катет, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы, т.е.

BC=5 см

тогда по теореме Пифагора

AB=\sqrt{AC^2 -BC^2 } =\sqrt{100-25} =5\sqrt{3} см

Следовательно, из свойств средней линии

    \[OK=\frac{1}{2} BC=2,5\ cm,\]

а

    \[OM=\frac{1}{2} AB=\frac{5\sqrt{3} }{2} \ cm\]

Ответ OK=2,5 см,\ OM=\frac{5\sqrt{3} }{2} см