Высота равностороннего треугольника
Определение и формулы высоты равностороннего треугольника
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Высотой треугольника, проведённой из данной вершины, называется перпендикуляр, опущенный из этой вершины на противоположную сторону или её продолжение.
Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Треугольник называется равносторонним (правильным), если все его стороны равны.
Для правильного треугольника справедливы следующие утверждения:
- В равностороннем треугольнике высоты совпадают с медианами и биссектрисами и равны
- В равностороннем треугольнике высоты, биссектрисы, медианы и серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке, которая называется центром равностороннего треугольника.
![\[h=\frac{a\sqrt{3} }{2} \]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b37c5e5dfe14051c6df7800a177d1247_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
| Задание | В равностороннем треугольнике  провели высоту  см. Найти сторону этого треугольника.
|
| Решение | Так как треугольник равносторонний, то его высота
Из последнего равенства выразим |
| Ответ |
 см
|
![\[BK=\frac{AC\sqrt{3} }{2} =3\]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b0419155709476c83e13ed4b509ec9a6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[AC=\frac{2\cdot 3}{\sqrt{3} } = 2\sqrt{ 3} \ cm\]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6a1386925b75fc9774071f72c336a2e4_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
ПРИМЕР 2
| Задание | В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен  см. Найти высоту треугольника.
|
| Решение | Зная радиус описанной окружности в равностороннем треугольнике можно найти его сторону
А тогда искомая высота |
| Ответ |
 см
|
![\[AC=AO\sqrt{3} =6\sqrt{3} \]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-375e127589b2f41d047ccc771c5bc091_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[AM=\frac{AC\sqrt{3} }{2} =\frac{6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} }{2} =9\]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d57bf9159619849c6853e81d6fd0fa98_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
