Медиана треугольника
Определение и формулы медианы треугольника
Для медиан треугольника справедливы следующие утверждения:
- Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
- Медиана разбивает треугольник на два треугольника с одинаковой площадью
- Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.
- В равнобедренном треугольнике медиана, опущенная на основание, является высотой и биссектрисой.
- В равностороннем треугольнике любая медиана является высотой и биссектрисой.
Формула для вычисления медианы
где – сторона треугольника, к которой проводится медиана, – две другие стороны рассматриваемого треугольника.
Примеры решения задач
Задание | В треугольнике стороны см см и . Найти медиану, проведенную к стороне . |
Решение | На рисунке 1 изображен треугольник , в котором проведена медиана . Воспользуемся теоремой косинусов и найдем сторону :
т.е. см. Далее воспользуемся формулой для вычисления медианы :
|
Ответ | см. |
Задание | В треугольнике стороны см см и медиана см. Найти площадь треугольника . |
Решение | Так как – медиана треугольника, то
Рассмотрим треугольник и найдем его площадь по формуле Герона:
где – полупериметр, см см см. Подставим все данные в формулу и получим
Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, т.е. , откуда следует, что см |
Ответ | см. |