Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Медиана треугольника

Определение и формулы медианы треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника.
Медиана треугольника

Для медиан треугольника справедливы следующие утверждения:

  • Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
  • Медиана разбивает треугольник на два треугольника с одинаковой площадью
  • Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.
  • В равнобедренном треугольнике медиана, опущенная на основание, является высотой и биссектрисой.
  • В равностороннем треугольнике любая медиана является высотой и биссектрисой.

Формула для вычисления медианы

    \[m_{c} =\frac{1}{2} \sqrt{2a^{2} +2b^{2} -c^{2} } ,\]

где c – сторона треугольника, к которой проводится медиана, a,\ b – две другие стороны рассматриваемого треугольника.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание В треугольнике ABC стороны AB=4 см , AC=3 см и \angle A=60^{\circ}. Найти медиану, проведенную к стороне BC.
Решение На рисунке 1 изображен треугольник ABC, в котором проведена медиана AL. Воспользуемся теоремой косинусов и найдем сторону BC:

    \[BC^2 =AB^{2} +AC^{2} -2AB\cdot AC\cdot \cos A=16+9-2\cdot 4\cdot 3\cdot \frac{1}{2} =13\]

т.е. BC=\sqrt{13} см.

Далее воспользуемся формулой для вычисления медианы AL:

    \[AL=\frac{1}{2} \sqrt{2AB^{2} +2AC^{2} -BC^{2} } =\frac{1}{2} \sqrt{2\cdot 16+2\cdot 9-13} =\frac{37}{2} =18,5\ cm\]

Ответ AL=18,5 см.
ПРИМЕР 2
Задание В треугольнике ABC стороны AB=5 см , AC=6 см и медиана BL=4 см. Найти площадь треугольника ABC.
Решение Так как BL – медиана треугольника, то

    \[AL=LC=\frac{1}{2} AC=3\ cm\]

Рассмотрим треугольник ABL и найдем его площадь по формуле Герона:

    \[S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-b)}\]

где p=\frac{1}{2} (AB+BL+AL)=6\ cm – полупериметр, a=AB=5 см,\ b=BL=4 см, c=AL=3 см. Подставим все данные в формулу и получим

    \[S=\sqrt{6(6-5)(6-4)(6-3)} =6\ cm^{3} \]

Медиана BL делит треугольник ABC на два равновеликих треугольника, т.е. S_{ABL} =S_{BCL}, откуда следует, что

S_{ABC} =2S_{ABL} =12 см ^{2}

Ответ S_{ABC} =12 см ^{2}.