Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Свойства медианы треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Медиана треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Свойства медиан треугольника

  1. Медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника (т.е. на треугольники с одинаковой площадью).
  2. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, начиная от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
  3. Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.
  4. В равнобедренном треугольнике медиана, опущенная на основание, является биссектрисой и высотой.
  5. В равностороннем треугольнике любая медиана является высотой и биссектрисой.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание В равнобедренном треугольнике ABC с боковой стороной AB=5 см провели медиану BL=4 см. Найти площадь треугольника ABC.
Решение Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, тогда {{S}_{\Delta \,ABL}}={{S}_{\Delta \,BCL}}, откуда следует

    \[{{S}_{\Delta \,ABC}}=2{{S}_{\Delta \,ABL}}\]

Найдем площадь треугольника ABL. Так как треугольник ABC равнобедренный, то медиана BL является высотой, т.е. треугольник ABL – прямоугольный и его площадь

    \[{{S}_{ABL}}=\frac{1}{2}AL\cdot BL\]

С помощью теоремы Пифагора найдем катет AL:

    \[AL=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{L}^{2}}}=\sqrt{25-16}=3 \ cm\]

Подставим полученные результаты в формулу площади:

    \[{{S}_{ABL}}=\frac{1}{2}3\cdot 4=6 \ {{cm}^{2}}\]

Теперь найдем площадь треугольника ABC:

    \[{{S}_{ABC}}=2{{S}_{ABL}}=2\cdot 6=12 \ {{cm}^{2}}\]

Ответ {{S}_{ABC}}=12 см ^{2}
ПРИМЕР 2
Задание В треугольнике ABC со сторонами AB=4 см, AC=6 см и углом \angle A={{60}^{\circ}} провели медианы AK и BL, которые пересекаются в точке O. Найти BO.
Решение Так как BL – медиана треугольника, то

    \[AL=LC=\frac{1}{2}AC=3\ cm\]

Рассмотрим треугольник ABL. По теореме косинусов найдем

    \[BL=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{L}^{2}}-2AB\cdot AL\cos \angle A}=\sqrt{16+9-2\cdot 4\cdot 3\cdot \frac{1}{2}}=\sqrt{13}\ cm\]

Медианы AK и BL пересекаются в точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, начиная от вершины, т.е.

    \[BO=\frac{2}{3}BL=\frac{2\sqrt{13}}{3}\ cm\]

Ответ BO=\frac{2\sqrt{13}}{3} см