Свойства медианы треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Медиана треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Свойства медиан треугольника

Медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника (т.е. на треугольники с одинаковой площадью).
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, начиная от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.
В равнобедренном треугольнике медиана, опущенная на основание, является биссектрисой и высотой.
В равностороннем треугольнике любая медиана является высотой и биссектрисой.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с боковой стороной $AB=5$ см провели медиану $BL=4$ см. Найти площадь треугольника $ABC$ .

Решение

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, тогда ${{S}_{\Delta \,ABL}}={{S}_{\Delta \,BCL}}$ , откуда следует

${{S}_{\Delta \,ABC}}=2{{S}_{\Delta \,ABL}}$

Найдем площадь треугольника $ABL$ . Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то медиана $BL$ является высотой, т.е. треугольник $ABL$ – прямоугольный и его площадь

${{S}_{ABL}}=\frac{1}{2}AL\cdot BL$

С помощью теоремы Пифагора найдем катет $AL$ :

$AL=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{L}^{2}}}=\sqrt{25-16}=3 \ cm$

Подставим полученные результаты в формулу площади:

${{S}_{ABL}}=\frac{1}{2}3\cdot 4=6 \ {{cm}^{2}}$

Теперь найдем площадь треугольника $ABC$ :

${{S}_{ABC}}=2{{S}_{ABL}}=2\cdot 6=12 \ {{cm}^{2}}$

Ответ

${{S}_{ABC}}=12$ см $^{2}$

ПРИМЕР 2

Задание

В треугольнике $ABC$ со сторонами $AB=4$ см, $AC=6$ см и углом $\angle A={{60}^{\circ}}$ провели медианы $AK$ и $BL$ , которые пересекаются в точке $O$ . Найти $BO$ .