Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Формулы треугольника

Формулы площади треугольника

1. По стороне и проведенной к ней высоте

    \[S=\frac{1}{2} a\cdot h\]

2. По двум сторонам и углу между ними

    \[S=\frac{1}{2} a\cdot b\sin \alpha \]

3. Формула Герона

    \[S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} ,\]

где p=\frac{a+b+c}{2} – полупериметр треугольника

4. Через радиусы вписанной и описанной окружностей

    \[S=rp,\]

где p=\frac{a+b+c}{2} – полупериметр треугольника, rрадиус вписанной окружности;

    \[S=\frac{abc}{4R} ,\]

здесь Rрадиус описанной окружности.

Теоремы треугольника

ТЕОРЕМА
Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними

    \[c^{2} =a^{2} +b^{2} -2ab\cos (\widehat{ab})\]

ТЕОРЕМА
Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной окружности:

    \[\frac{a}{\sin \alpha } =\frac{b}{\sin \beta } =\frac{c}{\sin \gamma } =2R\]

ТЕОРЕМА
Теорема тангенсов. Разность двух сторон треугольника относится к их сумме, как тангенс полуразности противолежащих углов к тангенсу полусуммы этих углов:

    \[\frac{a-b}{a+b} =\frac{\text{tg}\frac{\alpha -\beta }{2} }{\text{tg}\frac{\alpha +\beta }{2} } \]

Равносторонний треугольник со стороной a:

R=\frac{a\sqrt{3} }{3} – радиус описанной окружности,

r=\frac{a\sqrt{3} }{6} – радиус вписанной окружности,

h=\frac{a\sqrt{3} }{2} – высота, совпадающая с медианой и биссектрисой,

S=\frac{a^{2} \sqrt{3} }{4}площадь треугольника.

Формулы прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике ABC с \angle C=90^{\circ} , \angle A=\alpha, гипотенузой AB=c и катетами AC=b и BC=a

    \[\sin \alpha =\frac{BC}{AB} =\frac{a}{c} ,\ \cos \alpha =\frac{AC}{AB} =\frac{b}{c} ,\]

    \[\text{tg}\alpha =\frac{BC}{AC} =\frac{a}{b} ,\ \text{ctg}\alpha =\frac{AC}{BC} =\frac{b}{a} \]

ТЕОРЕМА
Теорема Пифагора. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

    \[AC^{2} +AB^{2} =BC^{2} \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание В равностороннем треугольнике со стороной a=4 см найти площадь и радиусы вписанной и описанной окружностей.
Решение Площадь равностороннего треугольника найдем по формуле S=\frac{a^{2} \sqrt{3} }{4}, подставив a=4:

    \[S=\frac{4^{2} \cdot \sqrt{3} }{4} =4\sqrt{3} \ cm^{2} \]

Тогда искомые радиусы вписанной и описанной окружностей

    \[r=\frac{a\sqrt{3} }{6} =\frac{4\sqrt{3} }{6} =\frac{2\sqrt{3} }{3} \ cm,\]

    \[R=\frac{a\sqrt{3} }{3} =\frac{4\sqrt{3} }{3} \ cm\]

Ответ S=4\sqrt{3} см ^{2},\ r=\frac{2\sqrt{3} }{3} см,\ R=\frac{4\sqrt{3} }{3} см.
ПРИМЕР 2
Задание В треугольнике ABC стороны AB=3 см, BC=6 см, а \angle C=30^{\circ}. Найти все стороны и все углы треугольника ABC.
Решение Сделаем рисунок.
Воспользуемся теоремой синусов и найдем угол A:

    \[    \frac{AB}{\sin C} =\frac{BC}{\sin A} \]

    \[    \frac{3}{\sin 30^{\circ} } =\frac{6}{\sin A} \]

откуда \sin A=1, т.е. \angle A=90^{\circ}. Следовательно, треугольник ABC является прямоугольным. Значит,

    \[\angle B=90^{\circ} -30^{\circ} =60^{\circ} \]

Найдем сторону AC по теореме Пифагора:

AC=\sqrt{BC^{2} -AB^{2} } =\sqrt{36-9} =\sqrt{27} =3\sqrt{3} см

Ответ \angle A=90^{\circ} ,\ \angle B=60^{\circ} ,\ AC=3\sqrt{3} см.