Свойства медианы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

В любом треугольнике есть три медианы ( $AK,\ BL,\ CN$ ).

Свойства медиан треугольника

Точка пересечения медиан в треугольнике делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
Медиана делит треугольник на два треугольника с одинаковой площадью.
Треугольник делится тремя своими медианами на шесть равновеликих треугольников.
В правильном треугольнике любая медиана является высотой и биссектрисой.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $A=6$ см и углом $A=30^{\circ}$ провели медианы $BL$ и $AK$ , которые пересеклись в точке $O$ . Найти длину отрезка $BO$ .

Решение

Медиана $BL$ делит основанием $AC$ на два равных отрезка $AL=LC=3$ см. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то она является и высотой. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABL$ и найдем $BL$ :

$BL=AL\cdot \text{tg} \angle A=3\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}\ cm$