Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Площадь треугольника

Для вычисления площади произвольного треугольника ABC используются следующие формулы:

1. Полупроизведение стороны на высоту, опущенную на эту сторон:

    \[    S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} a \cdot h_{a} \]

2. Полупроизведение сторон на угол между ними:

    \[    S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} a \cdot c \cdot \sin \beta \]

3. Формула Герона:

    \[    S_{\Delta ABC} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]

где p=\frac{a+b+c}{2} – полупериметр.

4. Через радиус описанной окружности:

    \[    S_{\Delta ABC} = \frac{abc}{4R} \]

где R – радиус описанной окружности.

5. Через радиус вписанной окружности и полупериметр:

    \[    S_{\Delta ABC} = p r \]

где r – радиус вписанной окружности, а p=\frac{a+b+c}{2} – полупериметр.

Примеры решения задач по теме «Площадь треугольника»

ПРИМЕР 1
Задание В треугольнике ABC одна сторона треугольника равна 3 см. Найти высоту, опущенную к этой стороне, если площадь треугольника равна 12 см ^{2}.
Решение Площадь по известной стороне и высоте вычисляется по формуле S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} a \cdot h_{a}. Выразим из этой формулы высоту:

    \[    h_{a} = \frac{2 S_{\Delta ABC}}{a} \]

Подставляя в полученное равенство исходные данные задачи, получим

(см)

Ответ h_{a} = 8 см.
ПРИМЕР 2
Задание Стороны треугольника ABC равны: 8 см, 12 см, 16 см. Найти площадь треугольника, используя подходящую формулу.
Решение Воспользуемся формулой Герона:

    \[    S_{\Delta ABC} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]

Найдем полупериметр треугольника:

(см)

Тогда площадь будет равна

S_{\Delta ABC} = \sqrt{18(18-8)(18-12)(18-16)} = \sqrt{18 \cdot 10 \cdot 6 \cdot 2} = 12 \sqrt{15} (см ^{2})

Ответ S_{\Delta ABC} = 12 \sqrt{15} см ^{2}