Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Стороны треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Треугольником называется фигура, состоящая из трех точек и трех отрезков, соединяющих эти точки.

Классификация треугольников по сторонам

Треугольники можно классифицировать по сторонам следующим образом:

Формулы связывающие стороны треугольника

Большая сторона треугольника лежит против большего угла.

В любом треугольнике (рис. 1) его стороны связаны с углами с помощью теоремы синусов:

    \[\frac{a}{\sin \alpha } =\frac{b}{\sin \beta } =\frac{c}{\sin \gamma } \]

и теоремы косинусов:

    \[a^2 =b^2 +c^2 -2\cdot b\cdot c\cdot \cos \alpha \]

Площадь треугольника по трем сторонам (формула Герона)

    \[S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} ,\]

где p=\frac{a+b+c}{2} – полупериметр

Стороны в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике (рис. 2) стороны a и b, образующие прямой угол, называются катетами, а третья сторона cгипотенузой. Связаны стороны прямоугольного треугольника теоремой Пифагора: «Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов»

    \[c^2 =a^2 +b^2 \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание В треугольнике ABC со сторонами AB=2 см,\ BC=3 см и AC=\sqrt{7} см найти угол B.
Решение Поскольку известны стороны треугольника, то можно воспользоваться теоремой косинусов

    \[AC^2 =AB^2 +BC^2 -2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos B\]

или

    \[\sqrt{7} ^2 =2^2 +3^2 -2\cdot 2\cdot 3\cdot \cos B,\]

откуда

    \[\cos \angle B=\frac{4+9-7}{12} =\frac{1}{2} \]

Тогда \angle B=\arccos \frac{1}{2} =60^{\circ}.

Ответ \angle B=60^{\circ}
ПРИМЕР 2
Задание В треугольнике ABC основание AB=5 см, а сторона BC на 3 см больше стороны AC. Найти стороны треугольника, если площадь треугольника равна 20\sqrt{2} см ^{2}.
Решение Пусть сторона AC равна x см, тогда BC=(x+3) см. Полупериметр рассматриваемого треугольника равен

    \[p=\frac{AB+BC+AC}{2} =\frac{5+x+x+3}{2} =x+4\]

Воспользуемся формулой Герона для площади треугольника

    \[S=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)} =\sqrt{(x+4)(x+4-5)(x+4-x)(x+4-x-3)} =\]

    \[=2\sqrt{(x+4)(x-1)} =5\sqrt{2}\]

или

    \[\sqrt{(x+4)(x-1)} =5\sqrt{2} ,\]

    \[(x+4)(x-1)=50,\]

    \[x^2 +3x-54=0,\]

откуда x_1 =-9,\ x_2 =6. Следовательно, сторона AC=6 см,\ BC=6+3=9 см.

Ответ AC=6 см,\ BC=9 см