Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Окружность, описанная около треугольника

Определение и формулы окружности, описанной около треугольник

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Окружность, проходящая через все три вершины треугольника, называется его описанной окружностью.
Окружность, описанная около треугольника

Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти радиус окружности, описанной около треугольника ABC со стороной AB=3 см и углами \angle A=60^{\circ} и \angle B =75^{\circ}
Решение Радиус R окружности, описанной около треугольника, найдем из равенства

    \[R=\frac{AB}{2\sin \angle C} \]

Сумма углов произвольного треугольника равна 180^{\circ}, поэтому

    \[\angle C=180^{\circ} -60^{\circ} -75^{\circ} =45^{\circ} \]

Теперь можно найти радиус описанной окружности:

    \[R=\frac{3}{2\cdot \frac{\sqrt{2} }{2} } =\frac{3}{\sqrt{2} } =\frac{3\sqrt{2} }{2} \ cm\]

Ответ R=\frac{3\sqrt{2} }{2} см.
ПРИМЕР 2
Задание В треугольнике ABC стороны AB=8 см, AC=4 см. Найти все углы треугольника, если радиус описанной окружности равен R=4 см.
Решение Радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к удвоенному синусу противолежащего угла

    \[R=\frac{AB}{2\sin \angle C} =\frac{AC}{2\sin \angle B} =\frac{BC}{2\sin \angle A} \]

Из записанных равенств найдем синусы углов В и С треугольника:

    \[\sin \angle C=\frac{AB}{2R} =\frac{8}{8} =1,\ \sin \angle B=\frac{AC}{2R} =\frac{6}{8} =\frac{1}{2} ,\]

откуда следует, что \angle C=90^{\circ}, а \angle B=30^{\circ}

Найдем величину угла A:

    \[\angle A=180^{\circ} -90^{\circ} -30^{\circ} =60^{\circ} \]

Ответ \angle A=60^{\circ} , \angle B=30^{\circ} , \angle C=90^{\circ}.