Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Главная Справочник Теоремы Теорема о сумме углов треугольника

Теорема о сумме углов треугольника

ТЕОРЕМА

Сумма углов произвольного треугольника равна $180^\circ$ .

Доказательство теоремы о сумме углов треугольника

Рассмотрим треугольник $ABC$ (рис. 1).

Через вершину $B$ проведем прямую $DE$ параллельно основанию $AC$ . Тогда $\angle CBE = \angle C$ как внутренние накрест лежащие при параллельных $DE$ и $AC$ , и секущей $BC$ . Аналогично, $\angle DBA = \angle A$ внутренние накрест лежащие при $DE \parallel AC$ и секущей $AB$ . Угол $DBE$ развернутый и равен

$\angle DBE = \angle DBA + \angle B + \angle CBE$

Учитывая, что развернутый угол равен $180 ^\circ$ , а $\angle CBE = \angle C$ и $\angle DBA = \angle A$ , окончательно получим

$180 ^\circ = \angle A + \angle B + \angle C$

Теорема доказана.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Угол при основании равнобедренного треугольника равен $67^\circ$ . Найти угол при вершине.

Решение

Сделаем рисунок (рис. 2).

По условию, треугольник $ABC$ – равнобедренный. Углы при основании равны, на рисунке $\angle A = \angle C = 67^\circ$ .

По теореме о сумме углов треугольника

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

Выразим из последнего равенства $\angle B$ , получим

$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C$

Подставляя заданные значения углов $\angle A$ и $\angle C$ , получим:

$\angle B = 180^\circ - 67^\circ - 67^\circ = 46^\circ$

Ответ

$\angle B = 46^\circ$

ПРИМЕР 2

Задание

Найти углы треугольника $MFL$ , если $\angle M + \angle L = 123^\circ$ , $\angle L + \angle F = 158^\circ$ .

Решение

Сложим, левые и правые части заданных равенств $\angle M + \angle L = 123^\circ$ и $\angle L + \angle F = 158^\circ$ , получим

$\angle M + \angle L + \angle M + \angle F = 123^\circ + 158^\circ$

$\angle M + \angle L + \angle M + \angle F = 281^\circ$

По теореме о сумме углов треугольника $\angle M + \angle L + \angle F = 180^\circ$ . Подставляя значение этой суммы в последнее равенство, получим

$180^\circ + \angle L = 281^\circ$

$\angle L = 101^\circ$

Тогда

$\angle M + 101^\circ = 123^\circ \text{ } \Rightarrow \text{ } \angle M = 22^\circ$

$101^\circ + \angle F = 158^\circ \text{ } \Rightarrow \text{ } \angle F = 57^\circ$

Ответ

$\angle L = 101^\circ \text{ };\text{ } \angle M = 22^\circ \text{ };\text{ } \angle F = 57^\circ$

© SolverBook - онлайн сервисы для учебы, 2015

Копирование материалов с сайта возможно только с разрешения
администрации портала и при наличие активной ссылки на источник.

Почта для связи: info@ru.solverbook.com

Выберите язык:

Сервисы

SolverBook