Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Теорема о сумме углов треугольника

ТЕОРЕМА
Сумма углов произвольного треугольника равна 180^\circ.

Доказательство теоремы о сумме углов треугольника

Рассмотрим треугольник ABC (рис. 1).

Через вершину B проведем прямую DE параллельно основанию AC. Тогда \angle CBE = \angle C как внутренние накрест лежащие при параллельных DE и AC, и секущей BC. Аналогично, \angle DBA = \angle A внутренние накрест лежащие при DE \parallel AC и секущей AB. Угол DBE развернутый и равен

    \[    \angle DBE = \angle DBA + \angle B + \angle CBE \]

Учитывая, что развернутый угол равен 180 ^\circ, а \angle CBE = \angle C и \angle DBA = \angle A, окончательно получим

    \[    180 ^\circ = \angle A + \angle B + \angle C \]

Теорема доказана.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Угол при основании равнобедренного треугольника равен 67^\circ. Найти угол при вершине.
Решение Сделаем рисунок (рис. 2).

По условию, треугольник ABC – равнобедренный. Углы при основании равны, на рисунке \angle A = \angle C = 67^\circ.

По теореме о сумме углов треугольника

    \[    \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \]

Выразим из последнего равенства \angle B, получим

    \[    \angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C \]

Подставляя заданные значения углов \angle A и \angle C, получим:

    \[    \angle B = 180^\circ - 67^\circ - 67^\circ = 46^\circ \]

Ответ \angle B = 46^\circ
ПРИМЕР 2
Задание Найти углы треугольника MFL, если \angle M + \angle L = 123^\circ, \angle L + \angle F = 158^\circ.
Решение Сложим, левые и правые части заданных равенств \angle M + \angle L = 123^\circ и \angle L + \angle F = 158^\circ, получим

    \[    \angle M + \angle L + \angle M + \angle F = 123^\circ + 158^\circ \]

    \[    \angle M + \angle L + \angle M + \angle F = 281^\circ \]

По теореме о сумме углов треугольника \angle M + \angle L + \angle F = 180^\circ. Подставляя значение этой суммы в последнее равенство, получим

    \[    180^\circ + \angle L = 281^\circ \]

    \[    \angle L = 101^\circ \]

Тогда

    \[    \angle M + 101^\circ = 123^\circ \text{ } \Rightarrow \text{ } \angle M = 22^\circ \]

    \[    101^\circ + \angle F = 158^\circ \text{ } \Rightarrow \text{ } \angle F = 57^\circ \]

Ответ \angle L = 101^\circ \text{ };\text{ } \angle M = 22^\circ \text{ };\text{ } \angle F = 57^\circ