Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Синус угла

Определение и формула синуса

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Синусом угла \alpha острого угла прямоугольного треугольника называется отношение катета, противолежащего этому углу, к гипотенузе. Синус угла \alpha обозначается \sin \alpha .

Рассмотрим произвольный прямоугольный треугольник \Delta ABC, \angle C={{90}^{\circ }}, углы \alpha и \beta – острые. (рис. 1). Запишем, чему равны синусы острых углов \alpha и \beta . В рассматриваемом треугольнике AB или c – гипотенуза, а против угла \alpha лежит катет BC или a, тогда

    \[ \sin \alpha =\frac{a}{c} \quad \sin \alpha =\frac{BC}{AB} \]

Рис. 1

Против острого угла \beta лежит катет AC или b, тогда синус угла \beta равен

    \[ \sin \beta =\frac{b}{c} \quad \sin \beta =\frac{AC}{AB} \]

Рис. 2

Рассмотрим тригонометрический круг, то есть круг радиуса один, с центром в начале координат. Выберем произвольный угол \alpha (рис. 2), которому на единичной окружности соответствует точка A \left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right). Опустим перпендикуляр AB из точки A на ось Ox. Тогда \sin \alpha =\frac{AB}{AO}, учитывая, что радиус окружности AO=1, то \sin \alpha =AB={{y}_{0}}, то есть синусом угла \alpha есть ордината точки A.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Катеты прямоугольного треугольника равны соответственно 5 и 2\sqrt{6} см. Найти синусы острых углов треугольника.
Решение Сделаем рисунок (рис. 3). Обозначим a=5 и b=2\sqrt{6}. По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы

    \[{{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}} \Rightarrow {{c}^{2}}={{5}^{2}}+{{\left( 2\sqrt{6} \right)}^{2}} \Rightarrow {{c}^{2}}=25+4\cdot 6 \Rightarrow {{c}^{2}}=49 \Rightarrow c=7 (cm)\]

По определению, синус – это отношение противолежащего катета к гипотенузе, тогда

Рис. 3

    \[\sin \alpha =\frac{a}{c} \quad \Rightarrow  \quad \sin \alpha =\frac{5}{7}\]

    \[\sin \beta =\frac{b}{c} \quad \Rightarrow  \quad \sin \beta =\frac{2\sqrt{6}}{7}\]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Какие из точек на единичной окружности (рис. 4) удовлетворяют условию \sin \alpha =\frac{1}{2} ?

Рис. 4

Решение Синусом угла на окружности есть ордината конца радиуса образующего с положительным направлением оси Ox заданный угол. Найдем на окружности точки, ординаты которых равны \frac{1}{2}. Это точки A и E.
Ответ Точки A и E.