Свойства окружности, описанной около треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Окружность, проходящая через все три вершины треугольника, называется его описанной окружностью.

Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Свойства окружности, описанной около треугольника

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.
В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.
Радиус $R$ окружности, описанной около треугольника, равен отношению произведения сторон $a,\ b,\ c$ треугольника к его учетверенной площади:
$R=\frac{abc}{4S}$
Радиус окружности, описанной около треугольника, равен отношению стороны треугольника к удвоенному синусу противолежащего угла
$R=\frac{AB}{2\sin \angle C}=\frac{AC}{2\sin \angle B}=\frac{BC}{2\sin \angle A}$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

В треугольнике $ABC$ углы $\angle A={{60}^{\circ}}, \quad \angle B={{30}^{\circ}}$ . Найти все стороны треугольника, если радиус описанной окружности равен $R=4$ см.

Решение

Найдем величину угла $C$ :

$\angle C={{180}^{\circ}}-{{60}^{\circ}}-{{30}^{\circ}}={{90}^{\circ}}$

Радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к удвоенному синусу противолежащего угла:

$R=\frac{AB}{2\sin \angle C}=\frac{AC}{2\sin \angle B}=\frac{BC}{2\sin \angle A}$

Из последних равенств найдем стороны треугольника

$AB=2R\sin \angle C=2\cdot 4\cdot 1=8\ cm, \quad A=2R\sin \angle B=2\cdot 4\cdot \frac{1}{2}=4\ cm$

$BC=2R\sin \angle A=2\cdot 4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\ cm$

Ответ

$AB=8\ cm, \quad AC=4\ cm, \quad BC=4\sqrt{3}\ cm$

ПРИМЕР 2

Задание

В треугольнике $ABC$ со сторонами $AB=3\ cm, \quad AC=4\ cm$ и $\angle A={{60}^{\circ}}$ найти радиус описанной окружности.

Решение

Радиус $R$ окружности, описанной около треугольника, равен отношению произведения сторон треугольника к его учетверенной площади:

$R=\frac{AB\cdot BC\cdot AC}{4S}$

Воспользовавшись теоремой косинусов, найдем сторону $BC$ :

$BC=\sqrt{A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}-2AC\cdot AB\cdot \cos \angle A}=\sqrt{13}\ cm$

Далее найдем площадь треугольника $ABC$ :

${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin \angle A=3\sqrt{3} \ {{cm}^{2}}$

Теперь можно найти радиус описанной окружности:

$R=\frac{AB\cdot BC\cdot AC}{4S}=\frac{3\cdot \sqrt{13}\cdot 4}{4\cdot 3\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{13}{3}}\ cm$

Ответ

$R=\sqrt{\frac{13}{3}}$ см

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Свойства окружности, описанной около треугольника

Свойства окружности, описанной около треугольника

Примеры решения задач