Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Радиус описанной окружности около треугольника

Определение и формула радиуса описанной окружности

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Окружность, проходящая через все три вершины треугольника, называется описанной вокруг этого треугольника окружностью.

Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Радиус R окружности, описанной около треугольника, равен отношению произведения сторон a, b, c треугольника к его учетверенной площади:

    \[R=\frac{abc}{4S} \]

Радиус описанной окружности около треугольника
ТЕОРЕМА
Расширенная теорема синусов. Радиус R окружности, описанной около треугольника, равен отношению стороны треугольника к удвоенному синусу противолежащего угла:

    \[R=\frac{AB}{2\sin \angle C} =\frac{AC}{2\sin \angle B} =\frac{BC}{2\sin \angle A} \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти радиус описанной окружности треугольника ABC со сторонами AB=4\sqrt{2} см,\ AC=7 см и \angle A=45^{\circ}.
Решение Радиус R окружности, описанной около треугольника, равен отношению произведения сторон треугольника к его учетверенной площади:

    \[R=\frac{AB\cdot BC\cdot AC}{4S} \]

Воспользовавшись теоремой косинусов, найдем сторону BC:

    \[BC=\sqrt{AC^2 +AB^2 -2AC\cdot AB\cdot \cos \angle A} =\]

    \[=\sqrt{49+32-2\cdot 7\cdot 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2} }2 } =\sqrt{25} =5\ cm\]

Далее найдем площадь треугольника ABC:

    \[S_{ABC} =\frac{1}{2} \cdot AB\cdot AC\cdot \sin \angle A=14\ cm^2 \]

Теперь можно найти радиус описанной окружности:

    \[R=\frac{AB\cdot BC\cdot AC}{4S} =\frac{4\sqrt{2} \cdot 5\cdot 7}{4\cdot 14} =\frac{5\sqrt{2} }{2} \ cm\]

Ответ R=\frac{5\sqrt{2} }2 см
ПРИМЕР 2
Задание В треугольнике ABC стороны AB=3 см,\ AC=\sqrt{6} см. Найти все углы треугольника, если радиус описанной окружности равен R=\sqrt{3} см.
Решение Радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к удвоенному синусу противолежащего угла:

    \[R=\frac{AB}{2\sin \angle C} =\frac{AC}{2\sin \angle B} =\frac{BC}{2\sin \angle A} \]

Из данных равенств найдем синусы углов треугольника:

\sin \angle C=\frac{AB}{2R} =\frac{3}{2\sqrt{3} } =\frac{\sqrt{3} }{2}, откуда \angle C=60^{\circ},

\sin \angle B=\frac{AC}{2R} =\frac{\sqrt{6} }{2\sqrt{3} } =\frac{\sqrt{2} }{2}, откуда \angle B=45^{\circ}.

Найдем величину угла A:

    \[\angle A=180^{\circ} -60^{\circ} -45^{\circ} =75^{\circ} \]

Ответ \angle A=75^{\circ} ,\ \angle B=45^{\circ} ,\ \angle C=60^{\circ}.