Центр окружности вписанной в треугольник
Определение и формула центра вписанной окружности
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.
Примеры решения задач
Задание | В треугольнике точка – точка пересечения биссектрис, а – точки касания окружности со сторонами треугольника (рис. 1). Доказать, что – центр окружности, вписанной в треугольник . |
Доказательство | Проведем из точки к сторонам , и перпендикуляры соответственно. Поскольку точка равноудалена от сторон треугольника, то
Следовательно, окружность с центром в точке проходит через точки . Стороны треугольника касаются этой окружности в точках , так как они перпендикулярны к радиусам . Значит, данная окружность является вписанной в треугольник . Что и требовалось доказать. |
Задание | Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит высоту, проведенную к основанию, в отношении . Найти периметр треугольника, если боковая сторона равна см. |
Решение | Рассмотрим равнобедренный треугольник (рис.2), в котором см. Из вершины опустим высоту . Точка является точкой пересечения биссектрис, а значит, для треугольника можно записать следующее равенство (поскольку биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам):
или
Поскольку см, то см. Так как треугольник – равнобедренный, то высота является медианой, а значит см. Тогда см |
Ответ | см |