Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Центр окружности вписанной в треугольник

Определение и формула центра вписанной окружности

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Окружность, касающаяся всех трех сторон треугольника, называется его вписанной окружностью.

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.

Центр окружности вписанной в треугольник

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание В треугольнике ABC точка O – точка пересечения биссектрис, а D,S,K – точки касания окружности со сторонами треугольника (рис. 1). Доказать, что O – центр окружности, вписанной в треугольник ABC.
Доказательство Проведем из точки O к сторонам AB,BC и AC перпендикуляры OD,\ OS,\ OK соответственно. Поскольку точка O равноудалена от сторон треугольника, то

    \[OD=OS=OK\]

Следовательно, окружность с центром в точке O проходит через точки D,S,K. Стороны треугольника ABC касаются этой окружности в точках D,S,K, так как они перпендикулярны к радиусам OD,\ OS,\ OK. Значит, данная окружность является вписанной в треугольник ABC.

Что и требовалось доказать.

ПРИМЕР 2
Задание Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит высоту, проведенную к основанию, в отношении 4:3. Найти периметр треугольника, если боковая сторона равна 6 см.
Решение Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC (рис.2), в котором AB=BC=6 см. Из вершины B опустим высоту BK. Точка O является точкой пересечения биссектрис, а значит, для треугольника ABK можно записать следующее равенство (поскольку биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам):

    \[    \frac{AB}{BO} =\frac{AK}{OK} \]

или

    \[    \frac{AB}{AK} =\frac{BO}{OK} =\frac{4}{3} \]

Поскольку AB=6 см, то AK=4,5 см. Так как треугольник ABC – равнобедренный, то высота BK является медианой, а значит AC=2AK=9 см. Тогда

P=AB+BC+AC=6+6+9=21 см

Ответ P=21 см