Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Окружность, вписанная в треугольник

Определение и формулы окружности, вписанной в треугольник

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Окружность, касающаяся всех трех сторон треугольника, называется его вписанной окружностью.
Окружность, вписанная в треугольник

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание В треугольнике ABC стороны AB=3 см , BC=5 см и AC=6 см. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Решение Радиус вписанной окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру. Полупериметр треугольника ABC равен

    \[p=\frac{1}{2} \cdot \left(AB+BC+AC\right)=\frac{1}{2} \cdot \left(3+5+6\right)=7\ cm\]

Площадь треугольника найдем по формуле Герона:

S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} =\sqrt{7\cdot (7-3)\cdot (7-5)\cdot (7-6)} =\sqrt{56} см ^{2}

Тогда радиус вписанной окружности равен:

    \[r=\frac{S}{p} =\frac{\sqrt{56} }{7} =\sqrt{\frac{8}{7}}\ cm\]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B катет AB=5 см и гипотенуза AC=13 см. Найти радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Решение Радиус вписанной окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру: r=\frac{S}{p}. Найдем катет BC по теореме Пифагора:

BC=\sqrt{AC^{2} -AB^{2} } =\sqrt{13^{2} -25^{2} } =12 см

Тогда площадь прямоугольного треугольника ABC равна

    \[S_{ABC} =\frac{1}{2} AB\cdot BC=\frac{1}{2} \cdot 5\cdot 12=30\ cm^{2} \]

Полупериметр треугольника ABC равен:

    \[p=\frac{AB+BC+AC}{2} =\frac{5+13+12}{2} =15\ cm\]

Искомый радиус

    \[r=\frac{S}{p} =\frac{30}{15} =2\ cm\]

Ответ r=2 см