Высота равнобедренного треугольника

Определение и формулы высоты равнобедренного треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Высотой треугольника, проведённой из данной вершины, называется перпендикуляр, опущенный из этой вершины на противоположную сторону или её продолжение.

Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.

Равные стороны $AB=BC$ называются боковыми сторонами, а третья сторона $AC$ – основанием треугольника (рис. 1).

Свойство высоты равнобедренного треугольника: в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является одновременно и биссектрисой, и медианой треугольника:

$BK\bot AC, AK=KC, \angle ABK=\angle CBK$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC$ на 1 см больше боковой стороны, высота $BK=4$ см, а площадь треугольника равна $16$ см $^{2}$ . Найти длину боковой стороны.

Решение

В треугольнике $ABC$ (рис. 1) обозначим основание $AC=x$ , тогда боковые стороны $AB=BC=x-1$ . Найдем площадь треугольника:

$S_{ABC} =\frac{1}{2} AC\cdot BK=\frac{1}{2} \cdot 4x=2x=16,$

откуда $x=8$ . Следовательно,

$AB=BC=8-1=7$ см

Ответ

$AB=BC=7$ см

ПРИМЕР 2

Задание

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $BC=6$ см и высотой $AK=3$ см найти $\angle BAC$ .

Решение

В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $AK$ является медианой, поэтому $BK=KC=3$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AKB$ . Найдем значение $\angle BAK$ :

$\text{tg}\angle BAK=\frac{BK}{AK} =\frac{3}{3} =1\Rightarrow \angle BAK=45^{\circ}$

Так как $AK$ является также и биссектрисой, то

$\angle BAC=2\angle BAK=90^{\circ}$

Ответ

$\angle BAC=90^{\circ}$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Высота равнобедренного треугольника

Определение и формулы высоты равнобедренного треугольника

Примеры решения задач