Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник

Определение и формулы окружности, вписанной в правильный треугольник

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Окружность, касающаяся всех трех сторон треугольника, называется его вписанной окружностью.
Вписанная окружность

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен

    \[r=\frac{a\sqrt{3}}{6} \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найдите площадь треугольника ABC, если радиус вписанной в него окружности равен 3 см
Решение Из формулы для радиуса окружности, вписанной в правильный треугольник, найдем длину сторону треугольника

    \[r=\frac{a\sqrt{3}}{6} \Rightarrow a=\frac{6r}{\sqrt{3}} =\frac{18}{\sqrt{3}} =\frac{18\sqrt{3}}{3} =6\sqrt{3} cm \]

Тогда площадь равностороннего треугольника

    \[S=\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} =\frac{\left(6\sqrt{3} \right)^{2} \cdot \sqrt{3}}{4} =\frac{108\sqrt{3}}{4} =27\sqrt{3} cm ^{2} \]

Ответ S=27\sqrt{3} см ^{2}
ПРИМЕР 2
Задание Высота правильного треугольника равна 6 см. Найти радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник
Решение В правильном треугольнике ABC опустим высоту BH=6 см. Для того, чтобы найти радиус окружности, вписанной в этот треугольник, нужно найти длину его стороны.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. Пусть AB=a, тогда AH=\frac{a}{2} (т.к. ABC – правильный и BH – медиана). Тогда теорема Пифагора для треугольника ABH запишется в виде:

    \[a^{2} =\left(\frac{a}{2} \right)^{2} +36,\]

    \[\frac{3a^{2}}{4} =36\Rightarrow a^{2} =48\Rightarrow a=\sqrt{48} =\sqrt{16\cdot 3} =4\sqrt{3} \cm\]

Найдем радиус вписанной окружности

    \[r=\frac{a\sqrt{3}}{6} =\frac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{6} =2 cm \]

Ответ r=2 см