Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник

Определение и формулы окружности, вписанной в прямоугольный треугольник

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Окружность, касающаяся всех трех сторон треугольника, называется его вписанной окружностью.
Вписанная окружность

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен отношению площади треугольника к его полупериметру:

    \[r=\frac{S}{p} \]

Есть еще одна формула для вычисления радиуса:

    \[r=\frac{a+b-c}{2} \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Площадь прямоугольного треугольника ABC равна 32 cm ^{2}. Найдите периметр треугольника ABC, если радиус вписанной окружности равен 4 cm .
Решение Так как радиус вписанной окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру, то тогда периметр треугольника

    \[P=2p=\frac{2S}{r} =\frac{64}{4} =16 cm \]

Ответ P=14 см
ПРИМЕР 2
Задание В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B катеты равны 8 см и 6 см. Найти радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник
Решение Радиус вписанной окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру:

    \[r=\frac{S}{p} \]

Найдем площадь заданного треугольника ABC:

    \[S_{ABC} =\frac{1}{2} \cdot AB\cdot BC=\frac{1}{2} \cdot 8\cdot 6=24 cm ^{2} \]

По теореме Пифагора гипотенуза AC

    \[AC=\sqrt{AB^{2} +BC^{2}} =\sqrt{6^{2} +8^{2}} =10 cm \]

Полупериметр \Delta ABC равен:

    \[p=\frac{AB+BC+AC}{2} =\frac{6+8+10}{2} =12 cm \]

Тогда радиус

    \[r=\frac{S}{p} =\frac{24}{12} =2 cm \]

Ответ r=2 см