Свойства вписанной окружности

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она лежит внутри него и касается каждой из его сторон.

Свойства вписанной окружности

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов многоугольника.
В любой треугольник можно вписать окружность, причем, только одну.
Радиус вписанной окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру:
$r=\frac{S}{p}$
Чтобы в четырехугольник можно было вписать окружность, он должен быть выпуклым.
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность, если суммы его противоположных сторон равны.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

В прямоугольный равнобедренный треугольник с гипотенузой $A=6$ см вписана окружность. Найти ее радиус.

Решение

Радиус вписанной окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру $r=\frac{S}{p}$ . Так как прямоугольник равнобедренный, то стороны $AB=BC$ . Обозначим их через х. Воспользовавшись теоремой Пифагора, найдем эти стороны:

${{x}^{2}}+{{x}^{2}}=36$

откуда $x=3\sqrt{2}$ , т.е. $AB=BC=3\sqrt{2}$ см.

Площадь прямоугольного треугольника найдем как половину произведения катетов $AB$ и $BC$ :

$S=\frac{1}{2}AB\cdot BC=9 \ {{cm}^{2}}$

Периметр треугольника

$p=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{3\sqrt{2}+3\sqrt{2}+6}{2}=3\sqrt{2}+3=3(\sqrt{2}+1)\ cm$

Теперь можно найти радиус:

$r=\frac{S}{p}=\frac{9}{3(\sqrt{2}+1)}=\frac{3}{\sqrt{2}+1}\ cm$

Ответ

$r=\frac{3}{\sqrt{2}+1}$ см

ПРИМЕР 2

Задание

В четырехугольник $ABCD$ вписана окружность. Известно, что стороны $AB=4$ см, $BC=10$ см, а сторона $CD$ больше чем сторона $AD$ в три раза. Найти стороны $CD$ и $AD$ .

Решение

Так как в четырехугольник вписана окружность, то суммы его противоположных сторон равны:

$AB+CD=BC+AD$