Свойства окружности, вписанной в треугольник
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Окружность, касающаяся всех трех сторон треугольника, называется его вписанной окружностью.
Свойства окружности вписанной в треугольник
- Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.
- В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.
- Радиус вписанной окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру:
![\[r=\frac{S}{p}\]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-043a3ba7b708a26e5118b022105ae69f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
| Задание | Площадь треугольника  равна 25 см , а радиус вписанной окружности равен 5 см. Найдите периметр треугольника .
|
| Решение | Так как радиус вписанной окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру, то периметр треугольника находится следующим образом:
|
| Ответ |  см
|
![\[P=\frac{2S}{r}=\frac{50}{5}=10 \ cm\]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-56966a13a68a6cd8ae3ebe7337001bc1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
ПРИМЕР 2
| Задание | В прямоугольном треугольнике с прямым углом  катеты равны 5 см и 12 см. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник .
|
| Решение | Радиус вписанной окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру
Найдем площадь прямоугольного треугольника Тогда по теореме Пифагора найдем гипотенузу Полупериметр треугольника Отсюда искомый радиус |
| Ответ |  см
|
![\[{{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{1}{2}5\cdot 12=30 \ {{cm}^{2}}\]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-60ef1b983813da34ab55acefad27c5d0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
:![\[BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}+{{12}^{2}}}=13\ cm\]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2dfab2d67798a0f590b1914d7e751f38_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[p=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{5+13+12}{2}=15\ cm\]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7a9b7286b6e1b8d948a983175fa69af6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[r=\frac{S}{p}=\frac{30}{15}=2\ cm\]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d0016d5307570270e5cd5d6746ea7135_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
