Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник

Определение и формулы окружности, вписанной в равнобедренный треугольник

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Окружность, касающаяся всех трех сторон треугольника, называется его вписанной окружностью.
Вписанная окружность

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.

Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, равен отношению площади треугольника к его полупериметру

    \[r=\frac{S}{p} \]

Если обозначить боковые стороны равнобедренного треугольника через a, а основание через b, то

    \[r=\frac{S}{p} =\sqrt{\frac{(p-a)(p-a)(p-b)}{p}} =\sqrt{\frac{(p-a)(p-a)(p-b)}{p}} =\frac{b}{2} \sqrt{\frac{2a-b}{2a+b}} \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 25 см, а основание 30 см. Найти радиус вписанной окружности.
Пример 1, радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник
Решение Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с боковыми сторонами AB=BC=25 см и основанием AC=30 см. Найдем площадь треугольника по формуле Герона:

    \[S=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)} ,\]

где полупериметр p=\frac{AB+BC+AC}{2} =\frac{80}{2} =40 см. Тогда

    \[S=\sqrt{40\cdot (40-25)\cdot (40-25)\cdot (40-30)} =300 cm ^{2} \]

Тогда искомый радиус

    \[r=\frac{S}{p} =\frac{300}{40} =7,5 cm \]

Ответ r=7,5 см
ПРИМЕР 2
Задание В равнобедренном треугольнике окружность, вписанная в него, делит в точке касания боковую сторону на отрезки 7 см и 10 см, считая от основания. Найти радиус этой окружности.
Пример 2, радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник
Решение Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием AC, в который вписана окружность. Точка K – точка касания окружности и боковой стороны BC такая, что BK=10 см, KC=7 см. По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки к окружности,

    \[CH=CK=7 cm \]

Тогда высота треугольника согласно теореме Пифагора

    \[BH=\sqrt{BC^{2} -CH^{2}} =\sqrt{(10+7)^{2} -7^{2}} =4\sqrt{15} cm \]

Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то

    \[AC=2CH=14 cm \]

Найдем площадь треугольника ABC:

    \[S=\frac{1}{2} \cdot AC\cdot BH=CH\cdot BH=7\cdot 4\sqrt{15} =28\sqrt{15} cm ^{2} \]

и полупериметр

    \[p=\frac{AB+BC+AC}{2} =\frac{17+17+14}{2} =24 cm \]

Тогда

    \[r=\frac{S}{p} =\frac{28\sqrt{15}}{24} =\frac{7\sqrt{15}}{6} cm \]

Ответ r=\frac{7\sqrt{15}}{6} см