Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Окружность, вписанная в правильный треугольник

Определение и формулы окружности, вписанной в правильный треугольник

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Окружность, касающаяся всех трех сторон треугольника, называется его вписанной окружностью.
Окружность, вписанная в правильный треугольник

Окружность, касающаяся всех трех сторон треугольника, называется его вписанной окружностью.

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.

В любой треугольник можно вписать окружность, причем, только одну.

Если окружность вписана в правильный треугольник (в тот, у которого все стороны равны между собой), то ее радиус r вычисляется по формуле

    \[r=\frac{S}{p} ,\]

где S – площадь треугольника, а p – его полупериметр; или его можно выразить через сторону a следующим образом:

    \[r=\frac{a\sqrt{3}}{6} \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание В правильном треугольнике ABC сторона AB=9 см. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Решение Поскольку треугольник ABC – правильный, то радиус окружности, вписанной в этот треугольник, найдем по формуле

    \[r=\frac{AB\sqrt{3}}{6} =\frac{9\sqrt{3}}{6} =\frac{3\sqrt{3}}{2} cm \]

Ответ r=\frac{3\sqrt{3}}{2} см
ПРИМЕР 2
Задание Найти радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, если его площадь равна 9\sqrt{3} см ^{2}
Решение Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле

    \[S=\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \]

По условию задачи площадь треугольника известна, поэтому можно найти длину стороны:

    \[a=\sqrt{\frac{4S}{\sqrt{3}} } =\sqrt{\frac{4\cdot 9\sqrt{3}}{\sqrt{3}} } =6 cm \]

Зная сторону правильного треугольника, можно найти радиус вписанной окружности

    \[r=\frac{6\sqrt{3}}{6} =\sqrt{3} cm \]

Ответ r=\sqrt{3} см