Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Внешний угол треугольника

Определение и формула внешнего угла треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Угол смежный с внутренним углом треугольника называется внешним углом треугольника.

На рисунке 1 внешний угол треугольника ABC при вершине A отмечен номером 4.

Для внешнего угла треугольника справедливо утверждение: Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с ним:

    \[\angle 4=\angle 1+\angle 2\]

Свойства внешнего угла

  • Сумма внешнего и внутреннего углов при одной вершине равна 180^{\circ}:
  •     \[\angle  3+\angle 4=180^{\circ} \]

  • Сумма внешних углов треугольник взятых по одному при каждой вершине равна 360^{\circ}.
  • Внешние углы при одной вершине треугольника равны между собой (как вертикальные): \angle 4=\angle 5.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание В треугольнике ABC углы A и C равны 50^{\circ} и 45^{\circ} соответственно. Найти внешние углы при каждой вершине треугольника.
Решение Сумма углов треугольника ABC равна 180^{\circ}, а значит

    \[\angle B=180^{\circ} -\angle A-\angle C=85^{\circ} \]

Внешний угол при вершине A равен сумме внутренних углов при вершинах B и C, т.е. 130^{\circ}. Аналогично получаем, что внешний угол при вершине B равен 95^{\circ}, а внешний угол при вершине C равен 135^{\circ}.

Ответ 130^{\circ} ,\ 95^{\circ} ,\ 135^{\circ}.
ПРИМЕР 2
Задание В треугольнике ABC внешние углы при вершинах A и C равны 68^{\circ} и 55^{\circ}. Найти внутренний угол при вершине B.
Решение Обозначим внешний угол при вершине B как \angle 1, внешний угол при вершине A как \angle 3, а внешний угол при вершине C\angle 2. Так как внешние и внутренние углы при одной вершине смежные (т.е. их сумма равна 180^{\circ}), то

    \[\angle A=180^{\circ} -\angle 3=180^{\circ} -112^{\circ} =68^{\circ} ,\]

    \[\angle C=180^{\circ} -\angle 2=180^{\circ} -125^{\circ} =55^{\circ} \]

Сумма углов треугольника ABC равна 180^{\circ}, значит

    \[\angle B=180^{\circ} -\angle A-\angle C=180^{\circ} -68^{\circ} -55^{\circ} =57^{\circ} \]

Ответ \angle A=68^{\circ} ,\ \angle B=57^{\circ} ,\ \angle C=55^{\circ}.