Внешний угол треугольника

Определение и формула внешнего угла треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Угол смежный с внутренним углом треугольника называется внешним углом треугольника.

На рисунке 1 внешний угол треугольника $ABC$ при вершине $A$ отмечен номером 4.

Для внешнего угла треугольника справедливо утверждение: Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с ним:

$\angle 4=\angle 1+\angle 2$

Свойства внешнего угла

Сумма внешнего и внутреннего углов при одной вершине равна $180^{\circ}$ :

$\angle 3+\angle 4=180^{\circ}$

Сумма внешних углов треугольник взятых по одному при каждой вершине равна $360^{\circ}$ .
Внешние углы при одной вершине треугольника равны между собой (как вертикальные): $\angle 4=\angle 5$ .

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

В треугольнике $ABC$ углы $A$ и $C$ равны $50^{\circ}$ и $45^{\circ}$ соответственно. Найти внешние углы при каждой вершине треугольника.

Решение

Сумма углов треугольника $ABC$ равна $180^{\circ}$ , а значит

$\angle B=180^{\circ} -\angle A-\angle C=85^{\circ}$

Внешний угол при вершине $A$ равен сумме внутренних углов при вершинах $B$ и $C$ , т.е. $130^{\circ}$ . Аналогично получаем, что внешний угол при вершине $B$ равен $95^{\circ}$ , а внешний угол при вершине $C$ равен $135^{\circ}$ .

Ответ

$130^{\circ} ,\ 95^{\circ} ,\ 135^{\circ}$ .

ПРИМЕР 2

Задание

В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $68^{\circ}$ и $55^{\circ}$ . Найти внутренний угол при вершине $B$ .

Решение

Обозначим внешний угол при вершине $B$ как $\angle 1$ , внешний угол при вершине $A$ как $\angle 3$ , а внешний угол при вершине $C$ – $\angle 2$ . Так как внешние и внутренние углы при одной вершине смежные (т.е. их сумма равна $180^{\circ}$ ), то

$\angle A=180^{\circ} -\angle 3=180^{\circ} -112^{\circ} =68^{\circ} ,$