Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Уравнение затухающих колебаний

Затухание колебаний

Свободные колебания в реальных условиях не могут продолжаться вечно. Для механических систем всегда имеет место сопротивление среды, вследствие чего энергия движения объекта рассеивается при трении. В электромагнитных контурах колебания затухают за счет сопротивления проводников.

График затухающих колебаний

Уравнение затухающих колебаний

Уравнение затухающих колебаний описывает движение реальных колебательных систем. В дифференциальной форме оно записывается следующим образом:

    \[\frac{\partial^2 x}{\partial t^2} +2\beta \frac{\partial x}{\partial t} +\omega_0^2 x=0\]

Из этого выражения можно получить еще одну каноническую форму:

    \[x=Ae^{-\beta t} \cos (\omega t +\varphi_0 )\]

либо x=Ae^{-\beta t} \sin (\omega t +\varphi_0 ).

Здесь x и t – координаты пространства и времени, А – первоначальная амплитуда. \beta – коэффициент затухания, который зависит от сопротивления среды r и массы колеблющегося объекта m:

    \[\beta = \frac{r}{2m} \]

Чем больше сопротивление среды, тем больше энергии рассеивается при вязком трении. И наоборот – чем больше масса (а значит, инерционность) тела, тем дольше оно будет продолжать движение.

Циклическая частота свободных колебаний (такой же системы, но без трения) \omega_0 учитывает силу упругости в системе (например, жесткость пружины k):

    \[\omega_0 =\frac{k}{m} \]

Строго говоря, в случае затухающих колебаний нельзя говорить про период – время между повторяющимися движениями системы постоянно увеличивается. Однако если колебания затухают медленно, для них с достаточной точностью можно определить период Т:

    \[T=\frac{2\pi}{\sqrt{\omega_0^2 -\beta^2}} \]

Циклическая частота затухающих колебаний

Еще одна характеристика затухающих колебаний – циклическая частота:

    \[\omega =\sqrt{\omega_0^2 -\beta^2} \]

Время релаксации – это коэффициент, показывающий, за какое время амплитуда колебаний уменьшится в е раз:

    \[\tau = \frac{1}{\beta} \]

Отношение амплитуды изменяющейся величины в двух последовательных периодах называют декрементом затухания:

    \[D= \frac{A(t)}{A(t+T)} =e^{\beta T} \]

Эту же характеристику при расчетах часто представляют в виде логарифма:

    \[\lambda =lnD=\beta T\]

Добротность Q характеризует, насколько силы упругости системы превышают силы сопротивления среды, препятствуя диссипации энергии:

    \[Q= \frac{\sqrt{mk}}{r} \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание После того, как к пружине подвесили груз, она растянулась на 9,8 см. Пружина колеблется в вертикальном направлении, \lambda = 3,1 . Определить период колебаний.
Решение Так как пружина растягивается под весом, то на нее действует сила тяжести:

    \[F=mg \]

Силе тяжести противодействует сила упругости пружины:

    \[F=k\Delta x\]

Из двух выражений найдём коэффициент упругости:

    \[k= \frac{mg}{\Delta x} \]

Подставим коэффициент упругости в формулу для периода затухающих колебаний:

    \[T=\frac{2\pi}{\sqrt{\omega_0^2 -\beta^2}} =\frac{2\pi}{\sqrt{\left(\frac{k}{m} \right)^2 -\beta^2}} \frac{2\pi}{\sqrt{\left(\frac{g}{\Delta x} \right)^2 -\beta^2}} \]

Зная, что логарифмический декремент затухания \lambda =\beta T, выразим из него неизвестную величину \beta, подставим в знаменатель формулы и выразим Т:

    \[ T=\sqrt{\frac{(\lambda^2 +4\pi^2 )\Delta x}{g}} =\sqrt{\frac{(3,1^2 +4\pi^2 )\cdot 0,098}{9,8}} =0,7 c  \]

Ответ T = 0,7 c
ПРИМЕР 2
Задание Затухающие колебания характеризуются следующими параметрами: период T = 4 с, логарифмический декремент затухания \lambda =1,6 . В начальный момент отклонения фазы не было. Когда система прошла четверть периода, отклонение точки составило 4,5 см. Получить уравнение данного колебания, а также график.
Решение Используем уравнение затухающих колебаний в каноничном виде:

    \[x=Ae^{-\beta t} \sin (\omega t +\varphi_0 )\]

Так как отклонения фазы в момент t = 0 не было, то второе слагаемое в аргументе косинуса равно нулю.

Определим циклическую частоту:

    \[\omega =\frac{2\pi}{T} =\frac{2\pi}{4} =\frac{\pi}{2}\ c^{-1}\]

Найдем коэффициент затухания:

    \[\beta =\frac{\lambda}{T} =\frac{1,6}{4} =0,4\ c^{-1}\]

Подставим в каноничное уравнение найденные параметры, а также отклонение точки в момент времени \frac{T}{4}= 1 с:

    \[0,045=Ae^{-0,4 \cdot 1} \sin (\frac{\pi}{2} t)\]

    \[A=\frac{0,045}{e^{-0,4 \cdot 1} \sin (\frac{\pi}{2} t)} =0,0671\ m\]

Тогда уравнение для данных колебаний примет окончательный вид:

    \[x=0,0671e^{-0,4t} \sin (\frac{\pi t}{2} )\]

По нему рассчитаем значения х для моментов времени до t = 3T = 12 c включительно и построим график.

Уравнение затухающих колебаний
Ответ x=0,0671e^{-0,4t} \sin (\frac{\pi t}{2} )