Уравнение затухающих колебаний

Затухание колебаний

Свободные колебания в реальных условиях не могут продолжаться вечно. Для механических систем всегда имеет место сопротивление среды, вследствие чего энергия движения объекта рассеивается при трении. В электромагнитных контурах колебания затухают за счет сопротивления проводников.

Уравнение затухающих колебаний

Уравнение затухающих колебаний описывает движение реальных колебательных систем. В дифференциальной форме оно записывается следующим образом:

$\frac{\partial^2 x}{\partial t^2} +2\beta \frac{\partial x}{\partial t} +\omega_0^2 x=0$

Из этого выражения можно получить еще одну каноническую форму:

$x=Ae^{-\beta t} \cos (\omega t +\varphi_0 )$

либо $x=Ae^{-\beta t} \sin (\omega t +\varphi_0 ).$

Здесь x и t – координаты пространства и времени, А – первоначальная амплитуда. $\beta$ – коэффициент затухания, который зависит от сопротивления среды r и массы колеблющегося объекта m:

$\beta = \frac{r}{2m}$

Чем больше сопротивление среды, тем больше энергии рассеивается при вязком трении. И наоборот – чем больше масса (а значит, инерционность) тела, тем дольше оно будет продолжать движение.

Циклическая частота свободных колебаний (такой же системы, но без трения) $\omega_0$ учитывает силу упругости в системе (например, жесткость пружины k):

$\omega_0 =\frac{k}{m}$

Строго говоря, в случае затухающих колебаний нельзя говорить про период – время между повторяющимися движениями системы постоянно увеличивается. Однако если колебания затухают медленно, для них с достаточной точностью можно определить период Т:

$T=\frac{2\pi}{\sqrt{\omega_0^2 -\beta^2}}$

Циклическая частота затухающих колебаний

Еще одна характеристика затухающих колебаний – циклическая частота:

$\omega =\sqrt{\omega_0^2 -\beta^2}$

Время релаксации – это коэффициент, показывающий, за какое время амплитуда колебаний уменьшится в е раз:

$\tau = \frac{1}{\beta}$

Отношение амплитуды изменяющейся величины в двух последовательных периодах называют декрементом затухания:

$D= \frac{A(t)}{A(t+T)} =e^{\beta T}$

Эту же характеристику при расчетах часто представляют в виде логарифма:

$\lambda =lnD=\beta T$

Добротность Q характеризует, насколько силы упругости системы превышают силы сопротивления среды, препятствуя диссипации энергии:

$Q= \frac{\sqrt{mk}}{r}$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

После того, как к пружине подвесили груз, она растянулась на 9,8 см. Пружина колеблется в вертикальном направлении, $\lambda = 3,1$ . Определить период колебаний.

Решение

Так как пружина растягивается под весом, то на нее действует сила тяжести:

$F=mg$

Силе тяжести противодействует сила упругости пружины:

$F=k\Delta x$

Из двух выражений найдём коэффициент упругости:

$k= \frac{mg}{\Delta x}$

Подставим коэффициент упругости в формулу для периода затухающих колебаний:

$T=\frac{2\pi}{\sqrt{\omega_0^2 -\beta^2}} =\frac{2\pi}{\sqrt{\left(\frac{k}{m} \right)^2 -\beta^2}} \frac{2\pi}{\sqrt{\left(\frac{g}{\Delta x} \right)^2 -\beta^2}}$

Зная, что логарифмический декремент затухания $\lambda =\beta T,$ выразим из него неизвестную величину $\beta$ , подставим в знаменатель формулы и выразим Т:

$T=\sqrt{\frac{(\lambda^2 +4\pi^2 )\Delta x}{g}} =\sqrt{\frac{(3,1^2 +4\pi^2 )\cdot 0,098}{9,8}} =0,7 c$

Ответ

$T = 0,7 c$

ПРИМЕР 2

Задание

Затухающие колебания характеризуются следующими параметрами: период $T = 4$ с, логарифмический декремент затухания $\lambda =1,6$ . В начальный момент отклонения фазы не было. Когда система прошла четверть периода, отклонение точки составило 4,5 см. Получить уравнение данного колебания, а также график.