Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Гармонические колебания. Уравнение гармонических колебаний

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Гармонические колебания – это колебания, при которых физическая величина, описывающая состояние системы, изменяется во времени по закону синуса или косинуса.

Уравнение и график гармонических колебаний

    \[x=A\sin \left(\omega t+{\varphi }_0\right)\ ,\]

где x — значение колеблющейся физической величины в момент времени t; Aамплитуда колебаний; \left(\omega t+{\varphi }_0\right)фаза колебаний; {\varphi }_0 — начальная фаза.

Графическая зависимость x=x(t) представляет собой синусоиду (рис.1).

Рис.1. График гармонических колебаний

В случае механических колебаний в качестве колеблющейся величины рассматриваем смещение точки от положения равновесия.

В реальности нет таких тел, которые бы совершали гармонические колебания. Гармонические колебания – это модель, как, к примеру, моделью является материальная точка. Однако в природе есть процессы, которые хорошо описываются при помощи данной модели. Одним из таких процессов являются малые колебания груза, подвешенного на нити.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Написать закон изменения со временем смещения материальной точки, совершающей гармонические колебания, если амплитуда колебания 10 см, период колебания 10 с, а начальная фаза колебаний равна нулю.
Решение Смещение точки, совершающей гармонические колебания, изменяется по синусоидальному закону:

    \[x=A\sin \left(\omega t+{\varphi }_0\right)\ \]

Циклическая частота:

    \[\omega =\frac{2\pi }{T}\]

    \[\omega =\frac{2\pi }{10}=0,628\ rad/c\]

Амплитуда колебаний: A=10 см =0,1 м

Закон изменения со временем смещения материальной точки:

    \[x=0,1\sin 0,628\ t\]

Ответ Закон изменения со временем смещения точки x=0,1\sin 0,628\ t
ПРИМЕР 2
Задание Указать, в чем различие колебательных движений, графики которых представлены на рисунке. Определить амплитуду и период колебаний для каждого случая. Записать уравнения колебаний.
Решение Колебательные движения, представленные на графиках, отличаются амплитудами и фазами.

В случае а) амплитуда A_1=0,2 м, в случае б) амплитуда A_2=0,1 м.

Период колебаний в случае а) T_1=4\ c, и циклическая частота:

    \[{\omega }_1=\frac{2\pi }{T_1};\ \ \ {\omega }_1=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}\ \ \ rad/c\]

Период колебаний в случае б) T_2=2\ c, и циклическая частота:

    \[{\omega }_2=\frac{2\pi }{T_2};\ \ \ {\omega }_1=\frac{2\pi }{2}=\pi \ \ rad/c\]

Начальные фазы в обоих случаях равны нулю.

Уравнение гармонических колебаний в общем виде:

    \[x=A\sin \left(\omega t+{\varphi }_0\right)\ \]

В случае а):

    \[x_1=0,2\sin \frac{\pi }{2}t\]

В случае б):

    \[x_2=0,1\sin \pi t\ \]

Ответ Амплитуды колебаний A_1=0,2 м ,\ A_2=0,1 м;

периоды T_1=4\ c, T_2=2\ c;

уравнения колебаний x_1=0,2\sin \frac{\pi }{2}t и x_2=0,1\sin \pi t.