Энергия гармонических колебаний

Кинетическая и потенциальная энергия гармонических колебаний

Кинетическая энергия тела, совершающего гармонические колебания:

$E_k=\frac{mv^2}{2}=\frac{mA^2{\omega }^2}{2}\cdot {\cos }^2\left(\omega t+{\varphi }_0\right)$

Потенциальная энергия тела, совершающего гармонические колебания (под действием квазиупругой силы):

$W_p=\frac{kx^2}{2}=\frac{k}{2}\cdot {A^2\sin }^2\left(\omega t+{\varphi }_0\right)$

Учитывая, что

$\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}\$

можно записать:

$W_p=\frac{m{\omega }^2A^2}{2}\cdot {\sin }^2\left(\omega t+{\varphi }_0\right)$

Полная энергия гармонических колебаний

Полная энергия гармонических колебаний равна сумме кинетической энергии и потенциальной энергии:

$E=E_k+W_p=\frac{mA^2{\omega }^2}{2}\cdot {\cos }^2\left(\omega t+{\varphi }_0\right)+\frac{m{\omega }^2A^2}{2}\cdot {\sin }^2\left(\omega t+{\varphi }_0\right)=\frac{mA^2{\omega }^2}{2}$

При свободных колебаниях колебательная система получает энергию только в начальный момент времени, а далее энергия системы, а с ней и амплитуда колебаний не меняются. При движении тела кинетическая и потенциальная энергия переходят друг в друга. Когда отклонение системы от положения равновесия максимально, потенциальная энергия максимальна, а кинетическая равна нулю. При прохождении положения равновесия потенциальная энергия достигает минимума, а кинетическая энергия (а с ней и скорость, импульс тела) максимальна.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Материальная точка массой 10 г колеблется по закону $x=0,05\sin \left(0,6t+0,8\right)$ . Найти полную энергию колеблющейся точки.

Решение

Полная энергия колеблющейся точки определяется соотношением:

$E=\frac{mA^2{\omega }^2}{2}$

Из уравнения колебаний точки амплитуда колебаний $A=0,05$ м, циклическая частота $\omega =0,6$ рад/с.

Переведем единицы в систему СИ: масса материальной точки $m=10$ г $={10}^{-2}$ кг.

Вычислим:

Дж

Ответ

Полная энергия материальной точки $4,5\cdot {10}^{-5}$ Дж.

ПРИМЕР 2

Задание

Амплитуда гармонических колебаний материальной точки 2 см, полная энергия колебаний 0,3 мкДж. При каком смещении $x$ от положения равновесия на колеблющуюся точку будет действовать сила — 22,5 мкН?

Решение

Запишем уравнение движения точки:

$x=A\sin \left(\omega t+{\varphi }_0\right)$

По второму закону Ньютона, сила, действующая на точку:

$F=ma$

Ускорение точки найдем, дважды продифференцировав уравнение движения:

$a=-{\omega }^2A\sin \left(\omega t+{\varphi }_0\right)$

Тогда сила:

$F=-m{\omega }^2A\sin \left(\omega t+{\varphi }_0\right)$

откуда:

$\sin \left(\omega t+{\varphi }_0\right)=-\frac{F}{m{\omega }^2A}\$

Полная энергия колеблющейся точки определяется формулой:

$E=\frac{mA^2{\omega }^2}{2}$

откуда

$m{\omega }^2=\frac{2E}{A^2}\$

и выражение для синуса перепишется в виде:

$\sin \left(\omega t+{\varphi }_0\right)=-\frac{FA}{2E}$

Тогда смещение материальной точки:

$x=A\cdot \left(-\frac{FA}{2E}\right)=-\frac{FA^2}{2E}$

Переведем единицы в систему СИ: амплитуда колебаний $A=2$ см $=2\cdot {10}^{-2}$ м; полная энергия колебаний $E=0,3$ мкДж $=3\cdot 10^{-7}$ Дж; сила $F=-22,5$ мкН $=-2,25\cdot 10^{-5}$ Н.