Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Энергия гармонических колебаний

Кинетическая и потенциальная энергия гармонических колебаний

Кинетическая энергия тела, совершающего гармонические колебания:

    \[E_k=\frac{mv^2}{2}=\frac{mA^2{\omega }^2}{2}\cdot {\cos }^2\left(\omega t+{\varphi }_0\right)\]

Потенциальная энергия тела, совершающего гармонические колебания (под действием квазиупругой силы):

    \[W_p=\frac{kx^2}{2}=\frac{k}{2}\cdot {A^2\sin }^2\left(\omega t+{\varphi }_0\right)\]

Учитывая, что

    \[\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}\ \]

можно записать:

    \[W_p=\frac{m{\omega }^2A^2}{2}\cdot {\sin }^2\left(\omega t+{\varphi }_0\right)\]

Полная энергия гармонических колебаний

Полная энергия гармонических колебаний равна сумме кинетической энергии и потенциальной энергии:

    \[E=E_k+W_p=\frac{mA^2{\omega }^2}{2}\cdot {\cos }^2\left(\omega t+{\varphi }_0\right)+\frac{m{\omega }^2A^2}{2}\cdot {\sin }^2\left(\omega t+{\varphi }_0\right)=\frac{mA^2{\omega }^2}{2}\]

При свободных колебаниях колебательная система получает энергию только в начальный момент времени, а далее энергия системы, а с ней и амплитуда колебаний не меняются. При движении тела кинетическая и потенциальная энергия переходят друг в друга. Когда отклонение системы от положения равновесия максимально, потенциальная энергия максимальна, а кинетическая равна нулю. При прохождении положения равновесия потенциальная энергия достигает минимума, а кинетическая энергия (а с ней и скорость, импульс тела) максимальна.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Материальная точка массой 10 г колеблется по закону x=0,05\sin \left(0,6t+0,8\right). Найти полную энергию колеблющейся точки.
Решение Полная энергия колеблющейся точки определяется соотношением:

    \[E=\frac{mA^2{\omega }^2}{2}\]

Из уравнения колебаний точки амплитуда колебаний A=0,05 м, циклическая частота \omega =0,6 рад/с.

Переведем единицы в систему СИ: масса материальной точки m=10 г ={10}^{-2} кг.

Вычислим:

Дж

Ответ Полная энергия материальной точки 4,5\cdot {10}^{-5} Дж.
ПРИМЕР 2
Задание Амплитуда гармонических колебаний материальной точки 2 см, полная энергия колебаний 0,3 мкДж. При каком смещении x от положения равновесия на колеблющуюся точку будет действовать сила — 22,5 мкН?
Решение Запишем уравнение движения точки:

    \[x=A\sin \left(\omega t+{\varphi }_0\right)\]

По второму закону Ньютона, сила, действующая на точку:

    \[F=ma\]

Ускорение точки найдем, дважды продифференцировав уравнение движения:

    \[a=-{\omega }^2A\sin \left(\omega t+{\varphi }_0\right)\]

Тогда сила:

    \[F=-m{\omega }^2A\sin \left(\omega t+{\varphi }_0\right)\]

откуда:

    \[\sin \left(\omega t+{\varphi }_0\right)=-\frac{F}{m{\omega }^2A}\ \]

Полная энергия колеблющейся точки определяется формулой:

    \[E=\frac{mA^2{\omega }^2}{2}\]

откуда

    \[m{\omega }^2=\frac{2E}{A^2}\ \]

и выражение для синуса перепишется в виде:

    \[\sin \left(\omega t+{\varphi }_0\right)=-\frac{FA}{2E}\]

Тогда смещение материальной точки:

    \[x=A\cdot \left(-\frac{FA}{2E}\right)=-\frac{FA^2}{2E}\]

Переведем единицы в систему СИ: амплитуда колебаний A=2 см =2\cdot {10}^{-2} м; полная энергия колебаний E=0,3 мкДж =3\cdot 10^{-7} Дж; сила F=-22,5 мкН =-2,25\cdot 10^{-5} Н.

Вычислим:

    \[x=\frac{2,25\cdot {10}^{-5}\cdot {\left(2\cdot {10}^{-2}\right)}^{2}}{2\cdot 3\cdot {10}^{-7}}=1,5\cdot {10}^{-2}\ m=1,5\ cm\]

Ответ Смещение материальной точки 1,5 см.