Скорость и ускорение точки, совершающей колебания

Скорость точки, совершающей гармонические колебания

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Скорость точки, совершающей гармонические колебания, определяется формулой:

$v_{x} =\omega A\sin \left(\omega t+\varphi _{0} +\frac{\pi }{2} \right)$

Для того чтобы получить эту зависимость, найдем производную от величины смещения по времени:

$v_{x} =x'=\omega A\cos \left(\omega t+\varphi _{0} \right)=\omega A\sin \left(\omega t+\varphi _{0} +\frac{\pi }{2} \right)$

Из полученного соотношения видно, что скорость точки, совершающей гармонические колебания, также изменяется по гармоническому закону и опережает по фазе смещение на $\pi /2$ .

Ускорение точки, совершающей гармонические колебания

$a_{x} =\omega ^{2} A\sin \left(\omega t+\varphi _{0} +\pi \right)$

Это соотношение получается путем дифференцирования проекции скорости на ось x:

$a_{x} ={v}_{x}' =-\omega ^{2} A\sin \left(\omega t+\varphi _{0} \right)=\omega ^{2} A\sin \left(\omega t+\varphi _{0} +\pi \right)$

При гармонических колебаниях ускорение точки изменяется по гармоническому закону и опережает по фазе смещение на $\pi$ .

Из последнего соотношения следует, что проекция ускорения на ось x:

$a_{x} =-\omega ^{2} x$

или

$a_{x} +\omega ^{2} x=0$

Так как $a_{x} =x''$ , последнее соотношение можно переписать в виде:

$x''+\omega ^{2} x=0$

Последнее уравнение представляет собой дифференциальное уравнение гармонических колебаний, решением которого является синусоидальная зависимость

$x=A\sin \left(\omega t+\varphi _{0} \right)$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Поршень в цилиндре двигателя проходит расстояние 66 мм между крайними положениями за $6\cdot {10}^{-3}\ c$ . Принимая, что движение поршня происходит по гармоническому закону, определить закон изменения скорости поршня и максимальную его скорость.

Решение

Амплитуда колебаний поршня равна половине расстояния между двумя крайними положениями:

$A=33$ мм $=3,3\cdot 10^{-3}$ м

Период колебаний равен удвоенному времени прохождения поршнем расстояния между крайними положениями:

$T=6\cdot 10^{-3} \; c$

Циклическая частота колебаний поршня:

$\omega =\frac{2\pi }{T};\ \omega =\frac{2\pi }{6\cdot {10}^{-3}}=1050\ rad/c$

Полагая, что начальная фаза колебаний равна нулю, запишем уравнение гармонических колебаний поршня:

$x=A\sin \omega t$

или

$x=3,3\cdot 10^{-3} \sin 1050t$

Продифференцировав последнее соотношение, получим закон изменения скорости поршня:

$v=x'=1050\cdot 3,3\cdot 10^{-3} \cos 1050t=3,5\cos 1050t$

Из этого уравнения определяем максимальную скорость поршня:

$v_{max} =3,5$ м/с

Ответ

Закон изменения скорости поршня $v=3,5\cos 1050t$ ; максимальная скорость движения поршня 3,5 м/с.

ПРИМЕР 2

Задание

Материальная точка массой 10 г колеблется по закону $x=0,05\sin \left(0,6t+0,8\right)$ . Найти максимальную силу, действующую на точку.

Решение

Уравнение колебаний в общем виде:

$x=A\sin \left(\omega t+{\varphi }_0\right)$

Сопоставив это уравнение с уравнением, данным в условии задачи:

$x=0,05\sin \left(0,6t+0,8\right),$

определяем амплитуду колебаний $A=0,05$ м, циклическую частоту $\omega =0,6$ рад/с и начальную фазу ${\varphi }_0=0,8$ рад.

Найдем скорость и ускорение материальной точки:

$v=x'=0,6\cdot 0,05\ \cos \left(0,6t+0,8\right)=0,03\cos \left(0,6t+0,8\right);$

$a=-0,018\sin \left(0,6t+0,8\right)$

Сила, действующая на точку:

$F=ma=-0,01\cdot 0,018\cdot \sin \left(0,6t+0,8\right)=-0,00018\cdot \sin \left(0,6t+0,8\right)$

Максимальная сила $F_{max}=-0,00018\ \ H$ .

Ответ

Максимальная сила 0,00018 Н.

ПРИМЕР 3

Задание

На конце пружины подвешен груз. Его оттягивают на 8,0 см от положения равновесия и отпускают. а) На каком расстоянии от положения равновесия его скорость будет равна половине максимальной? б) На каком расстоянии от положения равновесия его ускорение будет равно половине максимального?

Решение

Считая, что груз совершает гармонические колебания и начальная фаза колебаний равна нулю, запишем законы изменения со временем смещения груза, его скорости и ускорения:

$x=A\sin \omega t;$