Сложение колебаний

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Сложение колебаний — нахождение результирующих колебаний системы в тех случаях, когда эта система одновременно участвует в нескольких колебательных процессах.

В природе часто происходят процессы, в которых складываются нескольких величин, изменяющихся по гармоническому закону. Это явления интерференции и дифракции света, различные акустические явления, процессы в цепях переменного тока. Сложение колебаний мы можем наблюдать на морской поверхности. Электрокардиограмма представляет собой сложение колебаний напряжений биотоков, вырабатываемых сердечной мышцей.

Метод векторных диаграмм для сложения колебаний

Для сложения колебаний удобно применять метод векторных диаграмм. Этот метод основан на представлении гармонического колебания в виде вектора, модуль которого равен амплитуде колебания, а направление образует с осью $x$ угол, равный фазе колебания (рис.1). Проекция этого вектора на ось $x$ равна значению $x(t)$ . Векторная диаграмма всегда строится для какого-то одного момента времени.

Рис.1. Представление гармонического колебания в виде вектора (метод векторных диаграмм)

Сложение колебаний одинакового направления

Рассмотрим сложение колебаний одинакового направления. Пусть складываются два гармонических колебания с различными параметрами, направленные вдоль одной прямой:

$x_1\left(t\right)=A_1\cos {\varphi }_1; \qquad x_2\left(t\right)=A_2\cos {\varphi }_2$

где

${\varphi }_1={\omega }_1t+{\varphi }_{0,1};\$

${\varphi }_2={\omega }_2t+{\varphi }_{0,2}\$

Пользуясь методом векторных диаграмм, представим эти колебания с помощью векторов ${\overline{A}}_1$ и ${\overline{A}}_2$ (рис.2).

Рис.2. Сложение колебаний одинакового направления

Результирующее колебание:

$x=x_1+x_2$

Амплитуда результирующего колебания находится с использованием теоремы косинусов и равна:

$A=\sqrt{{A_1}^2+{A_2}^2+2A_1A_2\cos \left({\varphi }_2-{\varphi }_1\right)}$

Так как разность фаз в общем случае зависит от времени, то амплитуда $A$ результирующего колебания непостоянна. Поэтому результирующее колебание не является гармоническим, а представляет собой сложный колебательный процесс с пульсирующей амплитудой.

Если частоты колебаний равны $({\omega }_1={\omega }_2)$ , то разность фаз этих колебаний не зависит от времени:

$\triangle \varphi ={\varphi }_{0,2}-{\varphi }_{0,1}\$

Такие колебания называются когерентными.

В этом случае результирующая амплитуда колебаний равна:

$A=\sqrt{{A_1}^2+{A_2}^2+2A_1A_2\cos \left({\varphi }_{0,2}-{\varphi }_{0,1}\right)}$

а начальная фаза результирующего колебания определяется соотношением:

$\text{tg}{\varphi }_0=\frac{A_1\sin {\varphi }_{0,1}+A_2\sin {\varphi }_{0,2}}{A_1\cos {\varphi }_{0,1}+A_2\cos {\varphi }_{0,2}}$

Очевидно, что:

если разность начальных фаз обоих колебаний ${\varphi }_{0,2}$ — ${\varphi }_{0,1}$ равна 0 или $2\pi n$ , то $\cos \left({\varphi }_{0,2}-{\varphi }_{0,1}\right)=1$ и амплитуда результирующего колебания максимальна и равна сумме амплитуд складываемых колебаний: $A=A_1+A_2;$
если разность начальных фаз равна $\pm \pi$ , т.е. $\cos \left({\varphi }_{0,2}-{\varphi }_{0,1}\right)=-1$ (колебания находятся в противофазе), амплитуда результирующего колебания минимальна и равна: $A=A_1-A_2$ , в случае равенства амплитуд $\left(A_1=A_2\right)$ наблюдается полное гашение колебаний.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Два одинаково направленных колебания с равными частотами имеют амплитуды 20 и 50 см. Второе колебание опережает первое по фазе на ${30}^{\circ}$ . Определить амплитуду и начальную фазу суммарного колебания, полученного в результате сложения этих колебаний, если начальная фаза первого колебания равна нулю.

Решение

При сложении и двух колебаний с одинаковыми частотами, происходящих в одном направлении, амплитуда результирующего колебания:

$A=\sqrt{{A_1}^2+{A_2}^2+2A_1A_2\cos \left({\varphi }_{0,2}-{\varphi }_{0,1}\right)}$

Переведем в систему СИ значения амплитуд: $A_1=20$ см $=0,2$ м; $\quad A_2=50$ см $=0,5$ м.

Вычислим:

$A=\sqrt{{0,2}^2+{0,5}^2+2\cdot 0,2\cdot 0,5\cdot \cos \frac{\pi }{6}}=0,68\ m=68\ cm$

Начальная фаза суммарного колебания:

${\varphi }_0=\text{arctg}\left(\frac{A_1\sin {\varphi }_{0,1}+A_2\sin {\varphi }_{0,2}}{A_1\cos {\varphi }_{0,1}+A_2\cos {\varphi }_{0,2}}\right);$

${\varphi }_0=\text{arctg}\left(\frac{0,5\cdot 0+0,2\cdot 0,5}{0,2\cdot 1+0,5\cdot 0,87}\right)=\text{arctg}0,394=0,38\ rad\approx {22}^{\circ}$

Ответ

Амплитуда суммарного колебания 68 см, начальная фаза суммарного колебания ${22}^{\circ}$ .

ПРИМЕР 2

Задание

Складываются два одинаково направленных колебания $x_1=A\sin \omega t$ и $x_2=A\cos \left(\omega t+{\varphi }_{0,2}\right)$ . Начальная фаза второго колебания ${\varphi }_{0,2}=\frac{\pi }{6}$ . Определить с помощью векторной диаграммы амплитуду $A$ и начальную фазу ${\varphi }_0$ результирующего колебания. Записать уравнение результирующих колебаний.