Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Плоские и сферические волны. Уравнение плоской волны

Волновой фронт

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Волновой фронт – это геометрическое место точек, до которых к некоторому моменту времени t дошли колебания.

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью.

Волновых поверхностей можно провести бесчисленное множество, а волновой фронт в каждый момент времени – один. Волновой фронт также является волновой поверхностью.

По форме волновой поверхности различают плоские и сферические волны.

Плоские и сферические волны

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Плоская волна – это волна, волновые поверхности которой представляют собой совокупность параллельных друг другу плоскостей (рис.1, а).

Пример плоской волны – волна, возникающая в цилиндре с газом, при совершении колебаний поршнем.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Сферическая волна – это волна, волновые поверхности которой представляют собой совокупность концентрических сфер (рис.1, б).

Примерами сферических волн служат волны, генерируемые точечным источником в однородной среде.

Рис.1. Плоские (а) и сферические (б) волны

Уравнение плоской волны

Уравнение плоской волны определяет смещение любой точки среды \xi, находящейся на расстоянии x от излучателя, в данный момент времени t:

    \[\xi \left(x,t\right)=A\sin \left[\left(\omega t-kx\right)+{\varphi }_0\right]\]

где Aамплитуда колебаний,

\omegaциклическая частота колебаний,

k – волновое число, k=\frac{\omega }{v}\ (v – скорость волны).

{\varphi }_0начальная фаза.

Величина \varphi =\left(\omega t-kx\right)+{\varphi }_0 называется фазой волны.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Источник совершает незатухающие колебания по закону x=0,05\sin 500\pi t. Определить смещение точки, находящейся на расстоянии 60 см от источника колебаний, через 0,01 с после начала колебаний. Скорость распространения колебаний 300 м/с.
Решение Из уравнения колебаний источника x=0,05\sin 500\pi t определим амплитуду и циклическую частоту и начальную фазу колебаний:

    \[A=0,05\ m;\ \omega =500\pi,\ {\varphi }_0=0\]

Запишем уравнение плоской волны:

    \[\xi \left(x,t\right)=A\sin \left[\left(\omega t-kx\right)+{\varphi }_0\right]\]

Учитывая, что

    \[k=\frac{\omega }{v}\]

получим:

    \[\xi \left(x,t\right)=A\sin \left(\omega t-\frac{\omega }{v}x\right)=A\sin \left[\omega \left(t-\frac{x}{v}\right)\right]\]

Переведем единицы в систему СИ: расстояние точки от источника колебаний x=60 см =0,6 м.

Подставив в формулу численные значения физических величин, вычислим искомое смещение:

    \[\xi =0,05\cdot \sin \left[500\pi \left(0,01-\frac{0,6}{300}\right)\right]=0\]

Ответ Колеблющаяся точка в указанный момент времени проходит положение равновесия.
ПРИМЕР 2
Задание Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью 15 м/с. Период колебания точек шнура 1,2 с, амплитуда колебания 2 см. Определить фазу и смещение точки шнура, отстоящей на 45 см от источника колебаний, через 4 с.
Решение Запишем уравнение плоской волны (начальную фазу колебаний полагаем равной нулю):

    \[\xi \left(x,t\right)=A\sin \left[\omega \left(t-\frac{x}{v}\right)\right]\]

Циклическая частота:

    \[\omega =\frac{2\pi }{T}\]

тогда смещение точки шнура:

    \[\xi \left(x,t\right)=A\sin \left[\frac{2\pi }{T}\left(t-\frac{x}{v}\right)\right]\]

Переведем единицы в систему СИ: амплитуда колебания A=2 см =0,2 м; расстояние точки до источника колебаний x=45 см =0,45 м.

Вычислим:

    \[\xi =0,2\cdot \sin\left[\frac{2\pi }{1,2}\cdot \left(4-\frac{0.45}{15}\right)\right]=-1,73\cdot {10}^{-2}\ m\]

Фаза точки:

    \[\varphi =\frac{2\pi }{T}\left(t-\frac{x}{v}\right);\]

    \[\varphi =\frac{2\pi }{1,2}\cdot \left(4-\frac{0.45}{15}\right)=5.24\ rad\]

Ответ Фаза указанной точки шнура в указанный момент времени 5,24 рад, cмещение составляет -1,73\cdot {10}^{-2} м.
ПРИМЕР 3
Задание Вдоль некоторой прямой распространяются колебания с периодом 0,25 с и скоростью 48 м/с. Спустя 10 с после возникновения колебаний в исходной точке, на расстоянии 43 м от нее, смещение точки оказалось равным 3 см. Определить в этот же момент времени смещение и фазу колебания в точке, отстоящей на 45 м от источника колебаний.
Решение Запишем уравнения для смещений точек, участвующих в волновом процессе и находящихся на расстояниях x_1 и x_2 от источника колебаний:

    \[{\xi }_1=A\ \sin \left[\omega \left(t-\frac{x_1}{v}\right)\right]\]

    \[{\xi }_2=A\ \sin \left[\omega \left(t-\frac{x_2}{v}\right)\right]\]

Учитывая, что

    \[\omega =\frac{2\pi }{T}\]

перепишем в виде:

    \[{\xi }_1=A\ \sin \left[\frac{2\pi }{T}\left(t-\frac{x_1}{v}\right)\right]\]

    \[{\xi }_2=A\ \sin \left[\frac{2\pi }{T}\left(t-\frac{x_2}{v}\right)\right]\]

из уравнения для смещения первой точки найдем амплитуду колебаний:

    \[A=\frac{{\xi }_1}{\sin \left[\frac{2\pi }{T}\left(t-\frac{x_1}{v}\right)\right]}\]

Во избежание громоздких формул в данном случае удобно не выводить конечную формулу для искомых величин, а производить вычисления поэтапно.

Переведем единицы в систему СИ: смещение первой точки {\xi }_1=3 см =0,03 м.

Вычислим амплитуду колебания:

    \[A=\frac{0,03}{\sin \left[\frac{2\pi }{0,25}\cdot \left(10-\frac{43}{48}\right)\right]}=6\cdot {10}^{-2}\ m\]

Воспользовавшись уравнением для смещения второй точки, найдем фазу колебания второй точки в тот же момент времени:

    \[{\varphi }_2=\frac{2\pi }{T}\left(t-\frac{x_2}{v}\right);\]

    \[{\varphi }_2=\frac{2\pi }{0,25}\cdot \left(10-\frac{45}{48}\right)=227,7\ rad\]

Смещение в точке, находящейся на расстоянии x_2 от источника в тот же момент времени:

    \[{\xi }_2=A\sin {\varphi }_2;\]

{\xi }_2=6\cdot {10}^{-2}\cdot \sin 227,7=6\cdot {10}^{-2} м =6 см

Ответ Смещение в точке, отстоящей на 45 м от источника колебаний в указанный момент времени составит 6 см, фаза колебаний 227,7 рад.