Плоские и сферические волны. Уравнение плоской волны

Волновой фронт

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Волновой фронт – это геометрическое место точек, до которых к некоторому моменту времени $t$ дошли колебания.

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью.

Волновых поверхностей можно провести бесчисленное множество, а волновой фронт в каждый момент времени – один. Волновой фронт также является волновой поверхностью.

По форме волновой поверхности различают плоские и сферические волны.

Плоские и сферические волны

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Плоская волна – это волна, волновые поверхности которой представляют собой совокупность параллельных друг другу плоскостей (рис.1, а).

Пример плоской волны – волна, возникающая в цилиндре с газом, при совершении колебаний поршнем.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Сферическая волна – это волна, волновые поверхности которой представляют собой совокупность концентрических сфер (рис.1, б).

Примерами сферических волн служат волны, генерируемые точечным источником в однородной среде.

Рис.1. Плоские (а) и сферические (б) волны

Уравнение плоской волны

Уравнение плоской волны определяет смещение любой точки среды $\xi$ , находящейся на расстоянии $x$ от излучателя, в данный момент времени $t$ :

$\xi \left(x,t\right)=A\sin \left[\left(\omega t-kx\right)+{\varphi }_0\right]$

где $A$ – амплитуда колебаний,

$\omega$ – циклическая частота колебаний,

$k$ – волновое число $, k=\frac{\omega }{v}\ (v$ – скорость волны).

${\varphi }_0$ – начальная фаза.

Величина $\varphi =\left(\omega t-kx\right)+{\varphi }_0$ называется фазой волны.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Источник совершает незатухающие колебания по закону $x=0,05\sin 500\pi t$ . Определить смещение точки, находящейся на расстоянии 60 см от источника колебаний, через 0,01 с после начала колебаний. Скорость распространения колебаний 300 м/с.

Решение

Из уравнения колебаний источника $x=0,05\sin 500\pi t$ определим амплитуду и циклическую частоту и начальную фазу колебаний:

$A=0,05\ m;\ \omega =500\pi,\ {\varphi }_0=0$

Запишем уравнение плоской волны:

$\xi \left(x,t\right)=A\sin \left[\left(\omega t-kx\right)+{\varphi }_0\right]$

Учитывая, что

$k=\frac{\omega }{v}$

получим:

$\xi \left(x,t\right)=A\sin \left(\omega t-\frac{\omega }{v}x\right)=A\sin \left[\omega \left(t-\frac{x}{v}\right)\right]$

Переведем единицы в систему СИ: расстояние точки от источника колебаний $x=60$ см $=0,6$ м.

Подставив в формулу численные значения физических величин, вычислим искомое смещение:

$\xi =0,05\cdot \sin \left[500\pi \left(0,01-\frac{0,6}{300}\right)\right]=0$

Ответ

Колеблющаяся точка в указанный момент времени проходит положение равновесия.

ПРИМЕР 2

Задание

Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью 15 м/с. Период колебания точек шнура 1,2 с, амплитуда колебания 2 см. Определить фазу и смещение точки шнура, отстоящей на 45 см от источника колебаний, через 4 с.

Решение

Запишем уравнение плоской волны (начальную фазу колебаний полагаем равной нулю):

$\xi \left(x,t\right)=A\sin \left[\omega \left(t-\frac{x}{v}\right)\right]$

Циклическая частота:

$\omega =\frac{2\pi }{T}$

тогда смещение точки шнура:

$\xi \left(x,t\right)=A\sin \left[\frac{2\pi }{T}\left(t-\frac{x}{v}\right)\right]$

Переведем единицы в систему СИ: амплитуда колебания $A=2$ см $=0,2$ м; расстояние точки до источника колебаний $x=45$ см $=0,45$ м.

Вычислим:

$\xi =0,2\cdot \sin\left[\frac{2\pi }{1,2}\cdot \left(4-\frac{0.45}{15}\right)\right]=-1,73\cdot {10}^{-2}\ m$

Фаза точки:

$\varphi =\frac{2\pi }{T}\left(t-\frac{x}{v}\right);$

$\varphi =\frac{2\pi }{1,2}\cdot \left(4-\frac{0.45}{15}\right)=5.24\ rad$

Ответ

Фаза указанной точки шнура в указанный момент времени 5,24 рад, cмещение составляет $-1,73\cdot {10}^{-2}$ м.

ПРИМЕР 3

Задание

Вдоль некоторой прямой распространяются колебания с периодом 0,25 с и скоростью 48 м/с. Спустя 10 с после возникновения колебаний в исходной точке, на расстоянии 43 м от нее, смещение точки оказалось равным 3 см. Определить в этот же момент времени смещение и фазу колебания в точке, отстоящей на 45 м от источника колебаний.

Решение

Запишем уравнения для смещений точек, участвующих в волновом процессе и находящихся на расстояниях $x_1$ и $x_2$ от источника колебаний:

${\xi }_1=A\ \sin \left[\omega \left(t-\frac{x_1}{v}\right)\right]$

${\xi }_2=A\ \sin \left[\omega \left(t-\frac{x_2}{v}\right)\right]$

Учитывая, что

$\omega =\frac{2\pi }{T}$

перепишем в виде:

${\xi }_1=A\ \sin \left[\frac{2\pi }{T}\left(t-\frac{x_1}{v}\right)\right]$

${\xi }_2=A\ \sin \left[\frac{2\pi }{T}\left(t-\frac{x_2}{v}\right)\right]$

из уравнения для смещения первой точки найдем амплитуду колебаний:

$A=\frac{{\xi }_1}{\sin \left[\frac{2\pi }{T}\left(t-\frac{x_1}{v}\right)\right]}$

Во избежание громоздких формул в данном случае удобно не выводить конечную формулу для искомых величин, а производить вычисления поэтапно.

Переведем единицы в систему СИ: смещение первой точки ${\xi }_1=3$ см $=0,03$ м.

Вычислим амплитуду колебания:

$A=\frac{0,03}{\sin \left[\frac{2\pi }{0,25}\cdot \left(10-\frac{43}{48}\right)\right]}=6\cdot {10}^{-2}\ m$

Воспользовавшись уравнением для смещения второй точки, найдем фазу колебания второй точки в тот же момент времени:

${\varphi }_2=\frac{2\pi }{T}\left(t-\frac{x_2}{v}\right);$

${\varphi }_2=\frac{2\pi }{0,25}\cdot \left(10-\frac{45}{48}\right)=227,7\ rad$

Смещение в точке, находящейся на расстоянии $x_2$ от источника в тот же момент времени:

${\xi }_2=A\sin {\varphi }_2;$

${\xi }_2=6\cdot {10}^{-2}\cdot \sin 227,7=6\cdot {10}^{-2}$ м $=6$ см

Ответ

Смещение в точке, отстоящей на 45 м от источника колебаний в указанный момент времени составит 6 см, фаза колебаний 227,7 рад.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Плоские и сферические волны. Уравнение плоской волны

Волновой фронт

Плоские и сферические волны

Уравнение плоской волны

Примеры решения задач