Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Фаза колебаний. Начальная фаза

Определение и формула вычисления фазы колебаний

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Фаза колебаний – это аргумент периодической функции, описывающей колебательный процесс.

Фаза колебания показывает, какая часть периода прошла с момента начала наблюдения колебаний. При заданной амплитуде фаза колебаний полностью определяет смещение колеблющегося тела в любой момент времени.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Сдвигом фаз называется разность фаз двух колебаний.

Если два колебания происходят с одинаковым периодом (частотой), то такие колебания называются синхронными. Сдвиг фаз между ними сохраняется неизменным в течение всего колебательного процесса.

Если колебания двух точек происходят с нулевой разностью фаз. то говорят, что эти точки колеблются в одинаковой фазе.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Начальная фаза колебаний – это фаза колебаний в начальный момент времени t=0.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Определить сдвиг фаз между колебаниями, изображенными на графике. Записать уравнения колебаний.
Решение 1) Для колебания, изображенного на графике синей линией:

амплитуда A_1=0,1 м; период T_1=6,28\ c=2\pi \ c; начальная фаза {\varphi }_{0,1}=0; начальное cmещение x_{0,1}=0; циклическая частота:

    \[{\omega }_1=\frac{2\pi }{T_1};\ \ {\omega }_1=\frac{2\pi }{2\pi }=1\ rad/c\]

Уравнение колебаний:

    \[x_1=0,1\sin t\]

2) Для колебания, изображенного на графике красной линией:

амплитуда A_2=0,2 м; начальное смещение x_{0,2}=-0,2 м.

Уравнение колебаний в общем виде:

    \[x_2=A_2\sin \left({\omega }_2t+{\varphi }_{0,2}\right)\ \]

В начальный момент времени, т.е. когда t=0, смещение точки будет равно начальному смещению:

    \[x_{0,2}=A_2\sin {\varphi }_{0,2},\]

откуда можно определить начальную фазу:

    \[\sin {\varphi }_{0,2}=\frac{x_{0,2}}{A_2};\]

    \[{\varphi }_{0,2}=\text{arcsin} \left(\frac{x_{0,2}}{A_2}\right);\]

    \[{\varphi }_{0,2}=\text{arcsin} \left(\frac{-0,2}{0,2}\right)={\text{arcsin}  \left(-1\right)\ }=\frac{3\pi }{2}\]

Период колебаний T_2=6,28\ c=2\pi c; циклическая частота:

    \[{\omega }_2=\frac{2\pi }{T_2};\ \ {\omega }_2=\frac{2\pi }{2\pi }=1\ rad/c\]

Уравнение колебаний:

    \[x_2=0,2{\sin  \left(t+\frac{3\pi }{2}\right)\ }\]

Очевидно, что изображенные на графике колебания являются синхронными.

Сдвиг фаз между колебаниями определим как разность их начальных фаз:

    \[\triangle \varphi ={\varphi }_{0,2}-{\varphi }_{0,1};\]

    \[\triangle \varphi =\frac{3\pi }{2}\]

Ответ Уравнения колебаний x_1=0,1\sin t и x_2=0,2{\sin  \left(t+\frac{3\pi }{2}\right)\ }; сдвиг фаз между колебаниями \frac{3\pi }{2} рад.
ПРИМЕР 2
Задание Точка совершает гармонические колебания. В некоторый момент времени t_1 смещение точки x_1=5 см. При увеличении фазы вдвое смещение точки стало x_2=8 см. Определить амплитуду колебаний.
Решение Уравнение гармонических колебаний в общем виде:

    \[x=A\sin \left(\omega t+{\varphi }_0\right)\]

Запишем это уравнение для обоих случаев:

    \[\left\{ \begin{array}{c} x_1=A\sin \left(wt_1+{\varphi }_0\right) \\  x_2=A\sin \left(wt_2+{\varphi }_0\right) \end{array} \right\]

По условию задачи:

    \[wt_2+{\varphi }_0=2\left(wt_1+{\varphi }_0\right)\]

поэтому система перепишется в виде:

    \[\left\{ \begin{array}{c} x_1=A\sin \left(wt_1+{\varphi }_0\right) \\  x_2=A\sin 2\left(wt_1+{\varphi }_0\right) \end{array} \right\]

Учитывая, что \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha, получим:

    \[\left\{ \begin{array}{c} x_1=A\sin \left(wt_1+{\varphi }_0\right) \\  x_2=2A\sin \left(wt_1+{\varphi }_0\right)\cos \left(wt_1+{\varphi }_0\right) \end{array} \right\]

Разделим второе уравнение на 2:

    \[\left\{ \begin{array}{c} x_1=A\sin \left(wt_1+{\varphi }_0\right) \\  \frac{x_2}{2}=A\sin \left(wt_1+{\varphi }_0\right)\cos \left(wt_1+{\varphi }_0\right) \end{array} \right\]

Возведем оба уравнения в квадрат и вычтем из первого уравнения второе:

    \[{x_1}^2-\frac{{x_2}^2}{4}=A^2{\sin }^2\left(wt_1+{\varphi }_0\right)-A^2{\sin }^2\left(wt_1+{\varphi }_0\right){\cos }^2\left(wt_1+{\varphi }_0\right):\]

    \[{x_1}^2-\frac{{x_2}^2}{4}=A^2{\sin }^2\left(wt_1+{\varphi }_0\right)\left(1-{\cos }^2\left(wt_1+{\varphi }_0\right)\right);\]

    \[{x_1}^2-\frac{{x_2}^2}{4}=A^2{\sin }^4\left(wt_1+{\varphi }_0\right)\]

Так как x_1=A\sin \left(wt_1+{\varphi }_0\right), имеем:

    \[{x_1}^2-\frac{{x_2}^2}{4}=\frac{{x_1}^4}{A^2},\]

откуда амплитуда колебаний:

    \[A=\sqrt{\frac{{x_1}^4}{{x_1}^2-\frac{{x_2}^2}{4}}}=\frac{2{x_1}^2}{\sqrt{4{x_1}^2-{x_2}^2}}\ \]

Переведем единицы в систему СИ: x_1=5 см =0,05 м; x_2=8 см =0,08 м.

Вычислим:

    \[A=\frac{2\cdot {0,05}^2}{\sqrt{4\cdot {0,05}^2-{0,08}^2}}=0,083\ m=8,3\ cm\]

Ответ Амплитуда колебаний 8,3 см.