Фаза колебаний. Начальная фаза

Определение и формула вычисления фазы колебаний

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Фаза колебаний – это аргумент периодической функции, описывающей колебательный процесс.

Фаза колебания показывает, какая часть периода прошла с момента начала наблюдения колебаний. При заданной амплитуде фаза колебаний полностью определяет смещение колеблющегося тела в любой момент времени.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Сдвигом фаз называется разность фаз двух колебаний.

Если два колебания происходят с одинаковым периодом (частотой), то такие колебания называются синхронными. Сдвиг фаз между ними сохраняется неизменным в течение всего колебательного процесса.

Если колебания двух точек происходят с нулевой разностью фаз. то говорят, что эти точки колеблются в одинаковой фазе.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Начальная фаза колебаний – это фаза колебаний в начальный момент времени $t=0$ .

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Определить сдвиг фаз между колебаниями, изображенными на графике. Записать уравнения колебаний.

Решение

1) Для колебания, изображенного на графике синей линией:

амплитуда $A_1=0,1$ м; период $T_1=6,28\ c=2\pi \ c$ ; начальная фаза ${\varphi }_{0,1}=0$ ; начальное cmещение $x_{0,1}=0$ ; циклическая частота:

${\omega }_1=\frac{2\pi }{T_1};\ \ {\omega }_1=\frac{2\pi }{2\pi }=1\ rad/c$

Уравнение колебаний:

$x_1=0,1\sin t$

2) Для колебания, изображенного на графике красной линией:

амплитуда $A_2=0,2$ м; начальное смещение $x_{0,2}=-0,2$ м.

Уравнение колебаний в общем виде:

$x_2=A_2\sin \left({\omega }_2t+{\varphi }_{0,2}\right)\$

В начальный момент времени, т.е. когда $t=0,$ смещение точки будет равно начальному смещению:

$x_{0,2}=A_2\sin {\varphi }_{0,2},$

откуда можно определить начальную фазу:

$\sin {\varphi }_{0,2}=\frac{x_{0,2}}{A_2};$

${\varphi }_{0,2}=\text{arcsin} \left(\frac{x_{0,2}}{A_2}\right);$

${\varphi }_{0,2}=\text{arcsin} \left(\frac{-0,2}{0,2}\right)={\text{arcsin} \left(-1\right)\ }=\frac{3\pi }{2}$

Период колебаний $T_2=6,28\ c=2\pi c;$ циклическая частота:

${\omega }_2=\frac{2\pi }{T_2};\ \ {\omega }_2=\frac{2\pi }{2\pi }=1\ rad/c$

Уравнение колебаний:

$x_2=0,2{\sin \left(t+\frac{3\pi }{2}\right)\ }$

Очевидно, что изображенные на графике колебания являются синхронными.

Сдвиг фаз между колебаниями определим как разность их начальных фаз:

$\triangle \varphi ={\varphi }_{0,2}-{\varphi }_{0,1};$

$\triangle \varphi =\frac{3\pi }{2}$

Ответ

Уравнения колебаний $x_1=0,1\sin t$ и $x_2=0,2{\sin \left(t+\frac{3\pi }{2}\right)\ };$ сдвиг фаз между колебаниями $\frac{3\pi }{2}$ рад.

ПРИМЕР 2

Задание

Точка совершает гармонические колебания. В некоторый момент времени $t_1$ смещение точки $x_1=5$ см. При увеличении фазы вдвое смещение точки стало $x_2=8$ см. Определить амплитуду колебаний.

Решение

Уравнение гармонических колебаний в общем виде:

$x=A\sin \left(\omega t+{\varphi }_0\right)$

Запишем это уравнение для обоих случаев:

$\left\{ \begin{array}{c} x_1=A\sin \left(wt_1+{\varphi }_0\right) \\ x_2=A\sin \left(wt_2+{\varphi }_0\right) \end{array} \right$

По условию задачи:

$wt_2+{\varphi }_0=2\left(wt_1+{\varphi }_0\right)$

поэтому система перепишется в виде:

$\left\{ \begin{array}{c} x_1=A\sin \left(wt_1+{\varphi }_0\right) \\ x_2=A\sin 2\left(wt_1+{\varphi }_0\right) \end{array} \right$

Учитывая, что $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$ , получим:

$\left\{ \begin{array}{c} x_1=A\sin \left(wt_1+{\varphi }_0\right) \\ x_2=2A\sin \left(wt_1+{\varphi }_0\right)\cos \left(wt_1+{\varphi }_0\right) \end{array} \right$

Разделим второе уравнение на 2:

$\left\{ \begin{array}{c} x_1=A\sin \left(wt_1+{\varphi }_0\right) \\ \frac{x_2}{2}=A\sin \left(wt_1+{\varphi }_0\right)\cos \left(wt_1+{\varphi }_0\right) \end{array} \right$

Возведем оба уравнения в квадрат и вычтем из первого уравнения второе:

${x_1}^2-\frac{{x_2}^2}{4}=A^2{\sin }^2\left(wt_1+{\varphi }_0\right)-A^2{\sin }^2\left(wt_1+{\varphi }_0\right){\cos }^2\left(wt_1+{\varphi }_0\right):$