Математический маятник
Определения и формулы математического маятника
Рис.1. Математический маятник
Математический маятник – это модель системы, совершающей гармонические колебания. Свободные колебания математического маятника при малых углах отклонения описываются уравнением гармонических колебаний.
В положении равновесия сила тяжести и сила упругости нити уравновешивают друг друга, и материальная точка находится в покое. При отклонении материальной точки от положения равновесия на малый угол на тело будет действовать возвращающая сила , которая является тангенциальной составляющей силы тяжести:
Эта сила сообщает материальной точке тангенциальное ускорение, направленное по касательной к траектории, и материальная точка начинает двигаться к положению равновесия с возрастающей скоростью. По мере приближения к положению равновесия возвращающая сила, а следовательно, и тангенциальное ускорение точки, уменьшаются. В момент прохождения положения равновесия угол отклонения , тангенциальное ускорение также равно нулю, а скорость материальной точки максимальна. Далее материальная точка проходит по инерции положение равновесия и, двигаясь в направлении, противоположном силе , сбавляет скорость. В крайнем положении материальная точка останавливается, и затем начинает двигаться в обратном направлении.
Период колебаний математического маятника
Период колебаний математического маятника не зависит от массы груза и амплитуды колебаний.
Примеры решения задач
Задание | Математический маятник длиной 1 м колеблется с амплитудой 1 см. За какое время он пройдет путь равный 1 см, если в начальный момент времени маятник проходит положение равновесия? За какое время маятник пройдет: а) первую половину этого пути; б) вторую половину этого пути? |
Решение | Период колебаний математического маятника определяется формулой:
Ускорение свободного падения м/с Вычислим:
Математический маятник совершает гармонические колебания, поэтому смещение материальной точки зависит от времени по гармоническому закону:
Так как в начальный момент времени маятник проходит положение равновесия, начальная фаза колебаний равна нулю.
Путь, равный 1 см, т.е. равный в данном случае амплитуде колебаний, маятник пройдет за четверть периода, т.е. за 0,5 с. а) В данном случае смещение:
поэтому можно записать:
б) Если на прохождение всего пути, равного амплитуде, маятник тратит 0,5 с, а на прохождение его первой половины – 0,17 с, на вторую половину пути маятник затратит:
|
Ответ | Период колебаний маятника 2 с; на прохождение пути, равного амплитуде, маятник затратит 0,5 с; а) на первую половину этого пути будет затрачено 0,17 с; б) на вторую половину этого пути – 0,33 с. |
Задание | Один математический маятник имеет период 5 с. а другой – период 3 с. Определить период колебаний математического маятника, длина которого равна разности длин указанных маятников? |
Решение | Период колебаний математического маятника определяется формулой:
Запишем это соотношение для каждого из маятников и найдем их длины:
Найдем длину третьего маятника:
Период третьего маятника:
|
Ответ | Период колебаний третьего маятника 4 с. |