Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Математический маятник

Определения и формулы математического маятника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Математический маятник – это материальная точка, подвешенная на длинной невесомой нерастяжимой нити (рис.1).

Рис.1. Математический маятник

Математический маятник – это модель системы, совершающей гармонические колебания. Свободные колебания математического маятника при малых углах отклонения описываются уравнением гармонических колебаний.

В положении равновесия сила тяжести и сила упругости нити уравновешивают друг друга, и материальная точка находится в покое. При отклонении материальной точки от положения равновесия на малый угол \alpha на тело будет действовать возвращающая сила \overline{F}, которая является тангенциальной составляющей силы тяжести:

    \[F=mg\sin \alpha \]

Эта сила сообщает материальной точке тангенциальное ускорение, направленное по касательной к траектории, и материальная точка начинает двигаться к положению равновесия с возрастающей скоростью. По мере приближения к положению равновесия возвращающая сила, а следовательно, и тангенциальное ускорение точки, уменьшаются. В момент прохождения положения равновесия угол отклонения \alpha =0, тангенциальное ускорение также равно нулю, а скорость материальной точки максимальна. Далее материальная точка проходит по инерции положение равновесия и, двигаясь в направлении, противоположном силе \overline{F}, сбавляет скорость. В крайнем положении материальная точка останавливается, и затем начинает двигаться в обратном направлении.

Период колебаний математического маятника

    \[T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\ \]

Период колебаний математического маятника не зависит от массы груза и амплитуды колебаний.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Математический маятник длиной 1 м колеблется с амплитудой 1 см. За какое время он пройдет путь равный 1 см, если в начальный момент времени маятник проходит положение равновесия? За какое время маятник пройдет: а) первую половину этого пути; б) вторую половину этого пути?
Решение Период колебаний математического маятника определяется формулой:

    \[T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\ \]

Ускорение свободного падения g=9,8 м/с ^{2}

Вычислим:

    \[T=2\pi \sqrt{\frac{1}{9,8}}=2\ c\]

Математический маятник совершает гармонические колебания, поэтому смещение материальной точки зависит от времени по гармоническому закону:

    \[x=A\sin \left(\omega t+{\varphi }_0\right)\]

Так как в начальный момент времени маятник проходит положение равновесия, начальная фаза колебаний равна нулю.

Циклическая частота:

    \[\omega =\frac{2\pi }{T},\]

    \[\omega =\frac{2\pi }{2}=\pi \ rad/c\]

Путь, равный 1 см, т.е. равный в данном случае амплитуде колебаний, маятник пройдет за четверть периода, т.е. за 0,5 с.

а) В данном случае смещение:

    \[x=\frac{A}{2},\]

поэтому можно записать:

    \[\frac{A}{2}=A\sin \pi t;\]

    \[\sin \pi t=\frac{1}{2};\]

    \[\pi t=\text{arcsin} \left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi }{6};\]

    \[t=\frac{1}{6}=0,17\ c\]

б) Если на прохождение всего пути, равного амплитуде, маятник тратит 0,5 с, а на прохождение его первой половины – 0,17 с, на вторую половину пути маятник затратит:

    \[t=0,5=0,17=0,33\ c\]

Ответ Период колебаний маятника 2 с; на прохождение пути, равного амплитуде, маятник затратит 0,5 с; а) на первую половину этого пути будет затрачено 0,17 с; б) на вторую половину этого пути – 0,33 с.
ПРИМЕР 2
Задание Один математический маятник имеет период 5 с. а другой – период 3 с. Определить период колебаний математического маятника, длина которого равна разности длин указанных маятников?
Решение Период колебаний математического маятника определяется формулой:

    \[T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\ \]

Запишем это соотношение для каждого из маятников и найдем их длины:

    \[T_1=2\pi \sqrt{\frac{l_1}{g}};\ \ \ \ \ \ \ \ l_1={\left(\frac{T_1}{2\pi }\right)}^2g;\]

    \[T_2=2\pi \sqrt{\frac{l_2}{g}};\ \ \ \ \ \ \ \ l_2={\left(\frac{T_2}{2\pi }\right)}^2g\]

Найдем длину третьего маятника:

    \[l=l_1-l_2=\frac{g}{4{\pi }^2}\left({T_1}^2-{T_2}^2\right)\]

Период третьего маятника:

    \[T=2\pi \sqrt{\frac{\frac{g}{4{\pi }^2}\left({T_1}^2-{T_2}^2\right)}{g}}=\sqrt{\left({T_1}^2-{T_2}^2\right)}\]

    \[T=\sqrt{5^2-3^2}=4\ c\]

Ответ Период колебаний третьего маятника 4 с.