Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Производная функции: основные понятия и определения

Пусть задана функция y = f(x). Рассмотрим два значения x_0 (исходное) и x (новое) из области определения функции.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Разность  x - x_0 называется приращением аргумента в точке x_0 и обозначается \Delta x («дельта икс»):

    \[ 	\Delta x = x - x_0 	\]

Замечание. Символ \Delta x рассматривается как единый, а не представляет собой произведение, то есть \Delta x \ne \Delta \cdot x .

ПРИМЕР
Задание Найти приращение аргумента \Delta x в точке x_0, если x_0 = 2, а x = 1,9
Решение Воспользуемся определением приращения, тогда будем иметь:

    \[ 				\Delta x = x - x_0 = 1,9 - 2 = -0,1 				\]

Ответ \Delta x = -0,1

Значение рассматриваемой функции в точке x_0 равно f(x_0). Зададим аргументу x приращение \Delta x. Получим значение функции в новой точке f(x + \Delta x).

Приращение функции в точке

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Приращением функции y = f(x) в точке x_0, соответствующее приращению аргумента \Delta x = x - x_0, называется величина

    \[ 	\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) 	\]

ПРИМЕР
Задание Дана функция y = x^2. Найти приращение функции при переходе от точки x_0 = 3 к точке x_0 + \Delta x = 4
Решение Согласно определению имеем, что

    \[ 				\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) 				\]

Находим значения функции в точках x_0 = 3 и x_0 + \Delta x = 4:

    \[ 				y(x_0) = y(3) = 3^2 = 9 				\]

    \[ 				y(x_0+ \Delta x) = y(4) = 4^2 = 16 				\]

Тогда искомое приращение

    \[ 				\Delta y = y(x_0 + \Delta x) - y(x_0) = 16 - 9 = 7 				\]

Ответ \Delta y = 7

Определение производной

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Производной y'(x_0) от функции y = f(x) называется предел отношения \frac{\Delta y}{\Delta x} приращения функции к приращению аргумента, при условии, что последний стремиться к нулю: \Delta x \to 0 (если он существует). То есть:

    \[ 	y'(x_0) = f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}  	\]

ПРИМЕР
Задание Найти производную функции y(x) = \sqrt{x} в точке x_0 = 1 , пользуясь определением производной.
Решение По определению искомая производная равна:

    \[ 				y'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{y(x_0 + \Delta x) - y(x_0)}{\Delta x} 				\]

Или, подставляя заданное значение точки x_0 , будем иметь:

    \[ 				y'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{y(1 + \Delta x) - y(1)}{\Delta x} 				\]

Найдем значение функции в указанных точках:

    \[ 				y(1 + \Delta x) = \sqrt{1 + \Delta x} 				\]

    \[ 				y(1) = \sqrt{1} = 1 				\]

Подставляем полученные значения в выражение для производной:

    \[ 				y'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{y(1 + \Delta x) - y(1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sqrt{1 + \Delta x} - 1}{\Delta x} 				\]

Записанный предел имеет неопределенность типа \left[ \frac{0}{0} \right], которую раскроем домножением числителя и знаменателя дроби, стоящей под знаком предела на сопряженное выражение \sqrt{1 + \Delta x} + 1 к числителю. Будем иметь:

    \[ 				y'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(\sqrt{1 + \Delta x} - 1) \cdot (\sqrt{1 + \Delta x}) + 1}{\Delta x \cdot (\sqrt{1 + \Delta x} + 1)} 				\]

Применяя в числителе формулу «разность квадратов», получим:

    \[ 				y'(1) = \lim_{\Delta x \to 0)}\frac{(\sqrt{1 + \Delta x})^2 - 1^2}{\Delta x \cdot (\sqrt{1 + \Delta x} + 1)} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1 + \Delta x - 1}{\Delta x \cdot (\sqrt{1 + \Delta x} + 1)} = 				\]

    \[ 				= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta x \cdot (\sqrt{1 + \Delta x} + 1)} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 + \Delta x} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} 				\]

Ответ y'(1) = \frac{1}{2}

Функция y = f(x) имеет производную на интервале (a; b), если производная f'(x) существует в каждой точке этого интервала.

Левая и правая производные функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Правой производной y'_+ функции y = f(x) в данной точке x называется величина

    \[ 		y'_+ = f'(x_0 + 0) = \lim_{\Delta x \to 0+} \frac{\Delta y}{\Delta x}, 		\]

а левой производной – величина

    \[ 		y'_- = f'(x_0 - 0) = \lim_{\Delta x \to 0-} \frac{\Delta y}{\Delta x}, 		\]

если эти пределы существуют.
ПРИМЕР
Задание Найти левую и правую производные f'_-(0)\text{ }, \text{ } f'_+(0) функции f(x) = |x| в точке x_0 = 0.
Решение Левая производная равна

    \[ 				f'_-(0) = \lim_{\Delta x \to 0-} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0-} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0-} \frac{| \Delta x | - 0}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0-} \frac{| \Delta x |}{\Delta x}  				\]

Так как \Delta x \to 0-, то \Delta x является маленькой отрицательной величиной, а тогда по определению модуля | \Delta x | = -\Delta x. Отсюда

    \[ 				f'_-(0) = \lim_{\Delta x \to 0-} \frac{| \Delta x |}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0-} \frac{-| \Delta x| }{\Delta x} = -1. 				\]

Аналогично, правая производная

    \[ 				f'_+(0) = \lim_{\Delta x \to 0+} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0+} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0+} \frac{| \Delta x | - 0}{\Delta x} = 				\]

    \[ 				= \lim_{\Delta x \to 0+} \frac{| \Delta x |}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0+} \frac{\Delta x}{\Delta x}  = 1 				\]

Ответ f'_-(0) = -1\text{ },\text{ } f'_+(0) = 1

Основные теоремы производных

ТЕОРЕМА
Для того чтобы в точке x существовала производная f'(x), необходимо и достаточно, чтобы в этой точке функция y = f(x) имела правую и левую производные, и эти производные были равны между собой:

    \[ 	y'(x) = y'_+(x) = y'_-(x) 	\]

Функция y = f(x) имеет в точке x бесконечную производную, если в этой точке

    \[ 	f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \infty  	\]

ТЕОРЕМА
(О непрерывности функции в точке.) Если функция y = f(x) имеет конечную производную в точке x_0 , то она непрерывна в этой точке.

Замечание. Обратное заключение не всегда верно: если функция y = f(x) непрерывна в некоторой точке x_0 , то она может и не иметь производной в этой точке.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке x, если приращение функции, соответствующее приращению аргумента, можно представить в виде:

    \[ 	\Delta y = A \cdot \Delta x + \alpha(\Delta x) \cdot \Delta x, 	\]

где A – число, не зависящее от \Delta x\text{ },\text{ } \alpha(\Delta x), – бесконечно малая функция при \Delta x \to 0, то есть

    \[ 	\lim_{\Delta x \to 0} \alpha(\Delta x) = 0. 	\]

ТЕОРЕМА
(О необходимом и достаточном условии дифференцируемости.) Для того чтобы функция y = f(x) была дифференцируемой в точке x, необходимо и достаточно, чтобы y = f(x) имела в точке конечную производную.

Теорема устанавливает, что для функции y = f(x) дифференцируемость в данной точке x и существование конечной производной в этой точке – понятия равносильные. Поэтому операцию нахождения производной называют также дифференцированием этой функции.