Производная функции: основные понятия и определения

Пусть задана функция $y = f(x)$ . Рассмотрим два значения $x_0$ (исходное) и $x$ (новое) из области определения функции.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Разность $x - x_0$ называется приращением аргумента в точке $x_0$ и обозначается $\Delta x$ («дельта икс»):

$\Delta x = x - x_0$

Замечание. Символ $\Delta x$ рассматривается как единый, а не представляет собой произведение, то есть $\Delta x \ne \Delta \cdot x$ .

ПРИМЕР

Задание	Найти приращение аргумента $\Delta x$ в точке $x_0$ , если $x_0 = 2$ , а $x = 1,9$
Решение	Воспользуемся определением приращения, тогда будем иметь: $\Delta x = x - x_0 = 1,9 - 2 = -0,1$
Ответ	$\Delta x = -0,1$

Значение рассматриваемой функции в точке $x_0$ равно $f(x_0)$ . Зададим аргументу $x$ приращение $\Delta x$ . Получим значение функции в новой точке $f(x + \Delta x)$ .

Приращение функции в точке

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Приращением функции $y = f(x)$ в точке $x_0$ , соответствующее приращению аргумента $\Delta x = x - x_0$ , называется величина

$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$

ПРИМЕР

Задание

Дана функция $y = x^2$ . Найти приращение функции при переходе от точки $x_0 = 3$ к точке $x_0 + \Delta x = 4$

Решение

Согласно определению имеем, что

$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$

Находим значения функции в точках $x_0 = 3$ и $x_0 + \Delta x = 4$ :

$y(x_0) = y(3) = 3^2 = 9$

$y(x_0+ \Delta x) = y(4) = 4^2 = 16$

Тогда искомое приращение

$\Delta y = y(x_0 + \Delta x) - y(x_0) = 16 - 9 = 7$

Ответ

$\Delta y = 7$

Определение производной

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Производной $y'(x_0)$ от функции $y = f(x)$ называется предел отношения $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ приращения функции к приращению аргумента, при условии, что последний стремиться к нулю: $\Delta x \to 0$ (если он существует). То есть:

$y'(x_0) = f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

ПРИМЕР

Задание

Найти производную функции $y(x) = \sqrt{x}$ в точке $x_0 = 1$ , пользуясь определением производной.

Решение

По определению искомая производная равна:

$y'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{y(x_0 + \Delta x) - y(x_0)}{\Delta x}$

Или, подставляя заданное значение точки $x_0$ , будем иметь:

$y'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{y(1 + \Delta x) - y(1)}{\Delta x}$

Найдем значение функции в указанных точках:

$y(1 + \Delta x) = \sqrt{1 + \Delta x}$

$y(1) = \sqrt{1} = 1$

Подставляем полученные значения в выражение для производной:

$y'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{y(1 + \Delta x) - y(1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sqrt{1 + \Delta x} - 1}{\Delta x}$

Записанный предел имеет неопределенность типа $\left[ \frac{0}{0} \right]$ , которую раскроем домножением числителя и знаменателя дроби, стоящей под знаком предела на сопряженное выражение $\sqrt{1 + \Delta x} + 1$ к числителю. Будем иметь:

$y'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(\sqrt{1 + \Delta x} - 1) \cdot (\sqrt{1 + \Delta x}) + 1}{\Delta x \cdot (\sqrt{1 + \Delta x} + 1)}$

Применяя в числителе формулу «разность квадратов», получим:

$y'(1) = \lim_{\Delta x \to 0)}\frac{(\sqrt{1 + \Delta x})^2 - 1^2}{\Delta x \cdot (\sqrt{1 + \Delta x} + 1)} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1 + \Delta x - 1}{\Delta x \cdot (\sqrt{1 + \Delta x} + 1)} =$

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta x \cdot (\sqrt{1 + \Delta x} + 1)} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 + \Delta x} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$

Ответ

$y'(1) = \frac{1}{2}$

Функция $y = f(x)$ имеет производную на интервале $(a; b)$ , если производная $f'(x)$ существует в каждой точке этого интервала.

Левая и правая производные функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Правой производной $y'_+$ функции $y = f(x)$ в данной точке $x$ называется величина

$y'_+ = f'(x_0 + 0) = \lim_{\Delta x \to 0+} \frac{\Delta y}{\Delta x},$

а левой производной – величина

$y'_- = f'(x_0 - 0) = \lim_{\Delta x \to 0-} \frac{\Delta y}{\Delta x},$

если эти пределы существуют.

ПРИМЕР

Задание

Найти левую и правую производные $f'_-(0)\text{ }, \text{ } f'_+(0)$ функции $f(x) = |x|$ в точке $x_0 = 0$ .

Решение

Левая производная равна

$f'_-(0) = \lim_{\Delta x \to 0-} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0-} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0-} \frac{| \Delta x | - 0}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0-} \frac{| \Delta x |}{\Delta x}$

Так как $\Delta x \to 0-$ , то $\Delta x$ является маленькой отрицательной величиной, а тогда по определению модуля $| \Delta x | = -\Delta x$ . Отсюда

$f'_-(0) = \lim_{\Delta x \to 0-} \frac{| \Delta x |}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0-} \frac{-| \Delta x| }{\Delta x} = -1.$

Аналогично, правая производная

$f'_+(0) = \lim_{\Delta x \to 0+} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0+} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0+} \frac{| \Delta x | - 0}{\Delta x} =$

$= \lim_{\Delta x \to 0+} \frac{| \Delta x |}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0+} \frac{\Delta x}{\Delta x} = 1$

Ответ

$f'_-(0) = -1\text{ },\text{ } f'_+(0) = 1$

Основные теоремы производных

ТЕОРЕМА

Для того чтобы в точке $x$ существовала производная $f'(x)$ , необходимо и достаточно, чтобы в этой точке функция $y = f(x)$ имела правую и левую производные, и эти производные были равны между собой:

$y'(x) = y'_+(x) = y'_-(x)$

Функция $y = f(x)$ имеет в точке $x$ бесконечную производную, если в этой точке

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \infty$

ТЕОРЕМА

(О непрерывности функции в точке.) Если функция $y = f(x)$ имеет конечную производную в точке $x_0$ , то она непрерывна в этой точке.

Замечание. Обратное заключение не всегда верно: если функция $y = f(x)$ непрерывна в некоторой точке $x_0$ , то она может и не иметь производной в этой точке.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Функция $y = f(x)$ называется дифференцируемой в точке $x$ , если приращение функции, соответствующее приращению аргумента, можно представить в виде:

$\Delta y = A \cdot \Delta x + \alpha(\Delta x) \cdot \Delta x,$

где $A$ – число, не зависящее от $\Delta x\text{ },\text{ } \alpha(\Delta x)$ , – бесконечно малая функция при $\Delta x \to 0$ , то есть

$\lim_{\Delta x \to 0} \alpha(\Delta x) = 0.$

ТЕОРЕМА

(О необходимом и достаточном условии дифференцируемости.) Для того чтобы функция $y = f(x)$ была дифференцируемой в точке $x$ , необходимо и достаточно, чтобы $y = f(x)$ имела в точке конечную производную.

Теорема устанавливает, что для функции $y = f(x)$ дифференцируемость в данной точке $x$ и существование конечной производной в этой точке – понятия равносильные. Поэтому операцию нахождения производной называют также дифференцированием этой функции.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Производная функции: основные понятия и определения

Приращение функции в точке

Определение производной

Левая и правая производные функции

Основные теоремы производных